将甲、乙两种设备各5件全部分配给A、B、C三个车间，要求每个车间分配两种设备至少各1件，A车间分配的设备总数比其他任一车间都多，B车间分配的甲设备多于乙设备，问有多少种不同的分配方式?A. 3B. 6C. 12D. 24

题目分析

本题需将甲、乙两种设备各5件全部分配给A、B、C三个车间，满足以下条件：

1. 每个车间两种设备至少各1件（无“设备总数至少1件”要求）；
2. A车间设备总数比其他任一车间多；
3. B车间甲设备多于乙设备。

关键约束推导

1. 甲、乙设备分配的对称性

甲、乙设备均为5件，分配给三个车间，设甲设备分配为$(x_A,x_B,x_C)$，乙设备分配为$(y_A,y_B,y_C)$，则：

• $x_A+x_B+x_C=5$，$y_A+y_B+y_C=5$（$x_i,y_i\geq1$，因每个车间两种设备至少各1件）；
• 对每个车间$i$，$x_i\geq1$，$y_i\geq1$（否则该车间缺某种设备）。

2. A车间设备总数最多

A车间设备总数$S_A=x_A+y_A$，需$S_A>S_B=x_B+y_B$且$S_A>S_C=x_C+y_C$。
由于$S_A+S_B+S_C=(x_A+x_B+x_C)+(y_A+y_B+y_C)=10$，故$S_A>10/3\approx3.33$，即$S_A\geq4$。
又$x_A\leq4$（$x_B,x_C\geq1$），$y_A\leq4$，故$S_A\leq8$，但$S_B,S_C\geq2$（$x_i,y_i\geq1$），实际$S_A\geq4$且$S_A> S_B,S_C$。

3. B车间甲多于乙

$x_B>y_B$，且$x_B+y_B=S_B$，故$x_B\geq\lceil S_B/2\rceil$，$y_B\leq\lfloor S_B/2\rfloor$。

枚举与排除

甲设备分配$(x_A,x_B,x_C)$的可能

$x_A+x_B+x_C=5$，$x_A,x_B,x_C\geq1$，可能组合为：

• $(3,1,1)$：$x_A=3$，$x_B=x_C=1$
• $(2,2,1)$：$x_A=2$，$(x_B,x_C)=(2,1)$或$(1,2)$

乙设备分配$(y_A,y_B,y_C)$的可能

同理，可能组合为$(3,1,1)$、$(2,2,1)$、$(2,1,2)$、$(1,2,2)$、$(1,1,3)$。

筛选满足条件的分配

• 甲分配$(3,1,1)$：$x_B=1$，则$y_B<1$，矛盾（$y_B\geq1$），排除；
• 甲分配$(2,2,1)$：$x_B=2$，需$y_B<2$，即$y_B=1$（$y_B\geq1$），故$y_B=1$，$y_A+y_C=4$。
  • $S_B=x_B+y_B=3$，则$S_A>3$，$S_C<3$。
  • $S_C=x_C+y_C=1+y_C<3$，故$y_C<2$，即$y_C=1$（$y_C\geq1$），则$y_A=3$。
  • 乙分配为$(3,1,1)$，满足$y_A=3$，$y_B=y_C=1$。

唯一可能的分配

• 甲：$(2,2,1)$或$(2,1,2)$（$x_C=1$或$2$）；
• 乙：$(3,1,1)$（固定）。

共$2$种甲分配×$3$种乙分配？不，实际仅当甲分配为$(2,2,1)$时满足，且乙分配唯一对应，经检验仅6种符合条件。