48在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252))试求(1)该电了元件损坏的概率a(2)该电子元件损坏时,电源电压在200~240V的概率B

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。

解题思路：

1. 确定各区间的电压概率：将电压区间转换为标准正态分布，利用标准正态分布函数Φ(z)计算各区间的概率。
2. 应用全概率公式：根据各区间的电压概率及其对应的元件损坏概率，计算总损坏概率α。
3. 应用贝叶斯公式：在已知元件损坏的条件下，计算电源电压位于200~240V的概率β。

关键点：

• 正态分布标准化：通过$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$将电压值转换为标准正态分布。
• 全概率公式：总概率是各子事件概率与对应条件概率的加权和。
• 贝叶斯公式：条件概率的逆推计算。

第（1）题：求元件损坏的总概率α

步骤1：计算各区间的电压概率

• A₁（电压≤200V）：
  $P(A₁) = P\left(Z \leq \frac{200 - 220}{25}\right) = \Phi(-0.8) = 1 - \Phi(0.8) = 0.212$
• A₂（200V < 电压 ≤240V）：
  $P(A₂) = P\left(-0.8 \leq Z \leq 0.8\right) = \Phi(0.8) - \Phi(-0.8) = 0.788 - 0.212 = 0.576$
• A₃（电压>240V）：
  $P(A₃) = 1 - P(A₁) - P(A₂) = 1 - 0.212 - 0.576 = 0.212$

步骤2：应用全概率公式

$\alpha = P(B) = \sum_{i=1}^{3} P(A_i) P(B|A_i) = 0.212 \times 0.1 + 0.576 \times 0.001 + 0.212 \times 0.2 = 0.0642$

第（2）题：求损坏时电压在200~240V的概率β

步骤1：应用贝叶斯公式

$\beta = P(A₂|B) = \frac{P(A₂) P(B|A₂)}{P(B)} = \frac{0.576 \times 0.001}{0.0642} \approx 0.009$