题目
6.已知向量组 (beta )_(1)=((0,1,-1))^T (beta )_(2)=((3,a,1))^T (beta )_(3)=((1,1,b))^T 与向量组 _(1)=((1,2,-3))^T,-|||-_(2)=((3,0,-3))^T, _(3)=((9,6,-15))^T 等价,则a,b的值分别为-|||-A. a=-4 =2. B. =4, =-2.-|||-C. a=-4 =-2. D. a=4 =2.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定向量组等价的条件
两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等，即 $r({\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3})=r({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3})$。
步骤 2：计算向量组 ${a}_{1},{a}_{2},{a}_{3}$ 的秩
向量组 ${a}_{1},{a}_{2},{a}_{3}$ 的秩可以通过计算矩阵 $\left [ \begin{matrix} 1& 3& 9\\ 2& 0& 6\\ -3& -3& -15\end{matrix} ] \right.$ 的秩来确定。对矩阵进行初等行变换，得到：
$\left [ \begin{matrix} 1& 3& 9\\ 2& 0& 6\\ -3& -3& -15\end{matrix} ] \right.$ $\rightarrow$ $\left [ \begin{matrix} 1& 3& 9\\ 0& -6& -12\\ 0& 6& 12\end{matrix} ] \right.$ $\rightarrow$ $\left [ \begin{matrix} 1& 3& 9\\ 0& -6& -12\\ 0& 0& 0\end{matrix} ] \right.$
因此，$r({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3})=2$。
步骤 3：计算向量组 ${\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3}$ 的秩
向量组 ${\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3}$ 的秩可以通过计算矩阵 $\left [ \begin{matrix} 0& 3& 1\\ 1& a& 1\\ -1& 1& b\end{matrix} ] \right.$ 的秩来确定。对矩阵进行初等行变换，得到：
$\left [ \begin{matrix} 0& 3& 1\\ 1& a& 1\\ -1& 1& b\end{matrix} ] \right.$ $\rightarrow$ $\left [ \begin{matrix} 1& a& 1\\ 0& 3& 1\\ 0& a+1& b+1\end{matrix} ] \right.$ $\rightarrow$ $\left [ \begin{matrix} 1& a& 1\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& b+1-\frac{a+1}{3}\end{matrix} ] \right.$
因此，$r({\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3})=2$ 的充要条件是 $b+1-\frac{a+1}{3}=0$，即 $b+1=\frac{a+1}{3}$。
步骤 4：求解a和b的值
由 $b+1=\frac{a+1}{3}$，得 $3b+3=a+1$，即 $a=3b+2$。由于 $r({\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3})=2$，则 $b+1-\frac{a+1}{3}=0$，即 $b+1=\frac{a+1}{3}$。将 $a=3b+2$ 代入，得 $b+1=\frac{3b+3}{3}$，即 $b+1=b+1$，所以 $b$ 可以取任意值。但根据选项，$b=-2$，则 $a=3b+2=3(-2)+2=-4$。
两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等，即 $r({\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3})=r({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3})$。
步骤 2：计算向量组 ${a}_{1},{a}_{2},{a}_{3}$ 的秩
向量组 ${a}_{1},{a}_{2},{a}_{3}$ 的秩可以通过计算矩阵 $\left [ \begin{matrix} 1& 3& 9\\ 2& 0& 6\\ -3& -3& -15\end{matrix} ] \right.$ 的秩来确定。对矩阵进行初等行变换，得到：
$\left [ \begin{matrix} 1& 3& 9\\ 2& 0& 6\\ -3& -3& -15\end{matrix} ] \right.$ $\rightarrow$ $\left [ \begin{matrix} 1& 3& 9\\ 0& -6& -12\\ 0& 6& 12\end{matrix} ] \right.$ $\rightarrow$ $\left [ \begin{matrix} 1& 3& 9\\ 0& -6& -12\\ 0& 0& 0\end{matrix} ] \right.$
因此，$r({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3})=2$。
步骤 3：计算向量组 ${\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3}$ 的秩
向量组 ${\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3}$ 的秩可以通过计算矩阵 $\left [ \begin{matrix} 0& 3& 1\\ 1& a& 1\\ -1& 1& b\end{matrix} ] \right.$ 的秩来确定。对矩阵进行初等行变换，得到：
$\left [ \begin{matrix} 0& 3& 1\\ 1& a& 1\\ -1& 1& b\end{matrix} ] \right.$ $\rightarrow$ $\left [ \begin{matrix} 1& a& 1\\ 0& 3& 1\\ 0& a+1& b+1\end{matrix} ] \right.$ $\rightarrow$ $\left [ \begin{matrix} 1& a& 1\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& b+1-\frac{a+1}{3}\end{matrix} ] \right.$
因此，$r({\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3})=2$ 的充要条件是 $b+1-\frac{a+1}{3}=0$，即 $b+1=\frac{a+1}{3}$。
步骤 4：求解a和b的值
由 $b+1=\frac{a+1}{3}$，得 $3b+3=a+1$，即 $a=3b+2$。由于 $r({\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3})=2$，则 $b+1-\frac{a+1}{3}=0$，即 $b+1=\frac{a+1}{3}$。将 $a=3b+2$ 代入，得 $b+1=\frac{3b+3}{3}$，即 $b+1=b+1$，所以 $b$ 可以取任意值。但根据选项，$b=-2$，则 $a=3b+2=3(-2)+2=-4$。