题目
4.设X_(1),X_(2),...,X_(n)为总体N(mu,sigma^2)的一个样本，S^2为其样本方差，且P(S^2)/(sigma^2)leq1.5geq1-alpha.若样本容量n满足chi_(a)^2(n-1)geq38.9，求n的最小值.
4.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为总体$N(\mu,\sigma^{2})$的一个样本，$S^{2}$为其样本方差，且$P\{\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}\leq1.5\}\geq1-\alpha$.若样本容量n满足$\chi_{a}^{2}(n-1)\geq38.9$，求n的最小值.
题目解答
答案
由抽样分布理论，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
由题意，
\[
P\left\{\frac{S^2}{\sigma^2} \leq 1.5\right\} = P\left\{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \leq 1.5(n-1)\right\} \geq 1 - \alpha,
\]
即
\[
P\left\{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} > 1.5(n-1)\right\} \leq \alpha.
\]
由 $\chi^2$ 分位数定义，$\chi_{\alpha}^2(n-1) = 1.5(n-1)$。
由条件 $\chi_{\alpha}^2(n-1) \geq 38.9$，得
\[
1.5(n-1) \geq 38.9 \implies n \geq 26.9333.
\]
取整数得 $n$ 的最小值为 $\boxed{27}$。
解析
步骤 1：理解问题背景
题目给出的是一个正态分布总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$，样本方差$S^{2}$，以及一个概率条件$P\{\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}\leq1.5\}\geq1-\alpha$。同时，题目还给出了一个关于$\chi^2$分布的条件$\chi_{a}^{2}(n-1)\geq38.9$，要求我们求出样本容量$n$的最小值。
步骤 2：应用抽样分布理论
根据抽样分布理论，样本方差$S^{2}$与总体方差$\sigma^{2}$的比值乘以$(n-1)$服从自由度为$(n-1)$的$\chi^2$分布，即$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
步骤 3：将概率条件转化为$\chi^2$分布的条件
根据题目给出的概率条件$P\{\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}\leq1.5\}\geq1-\alpha$，可以转化为$P\left\{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \leq 1.5(n-1)\right\} \geq 1 - \alpha$，即$P\left\{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} > 1.5(n-1)\right\} \leq \alpha$。根据$\chi^2$分布的定义，这意味着$\chi_{\alpha}^2(n-1) = 1.5(n-1)$。
步骤 4：结合$\chi^2$分布的条件求解$n$
题目还给出了$\chi_{\alpha}^2(n-1) \geq 38.9$，结合$\chi_{\alpha}^2(n-1) = 1.5(n-1)$，可以得到$1.5(n-1) \geq 38.9$，从而求解$n$的最小值。
步骤 5：计算$n$的最小值
\[ 1.5(n-1) \geq 38.9 \implies n-1 \geq \frac{38.9}{1.5} \implies n-1 \geq 25.9333 \implies n \geq 26.9333. \]
取整数得$n$的最小值为$27$。
题目给出的是一个正态分布总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$，样本方差$S^{2}$，以及一个概率条件$P\{\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}\leq1.5\}\geq1-\alpha$。同时，题目还给出了一个关于$\chi^2$分布的条件$\chi_{a}^{2}(n-1)\geq38.9$，要求我们求出样本容量$n$的最小值。
步骤 2：应用抽样分布理论
根据抽样分布理论，样本方差$S^{2}$与总体方差$\sigma^{2}$的比值乘以$(n-1)$服从自由度为$(n-1)$的$\chi^2$分布，即$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
步骤 3：将概率条件转化为$\chi^2$分布的条件
根据题目给出的概率条件$P\{\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}\leq1.5\}\geq1-\alpha$，可以转化为$P\left\{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \leq 1.5(n-1)\right\} \geq 1 - \alpha$，即$P\left\{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} > 1.5(n-1)\right\} \leq \alpha$。根据$\chi^2$分布的定义，这意味着$\chi_{\alpha}^2(n-1) = 1.5(n-1)$。
步骤 4：结合$\chi^2$分布的条件求解$n$
题目还给出了$\chi_{\alpha}^2(n-1) \geq 38.9$，结合$\chi_{\alpha}^2(n-1) = 1.5(n-1)$，可以得到$1.5(n-1) \geq 38.9$，从而求解$n$的最小值。
步骤 5：计算$n$的最小值
\[ 1.5(n-1) \geq 38.9 \implies n-1 \geq \frac{38.9}{1.5} \implies n-1 \geq 25.9333 \implies n \geq 26.9333. \]
取整数得$n$的最小值为$27$。