题目

不定积分 int dfrac (dx)(x(1+2ln x))=( )。 int dfrac (dx)(x(1+2ln x))

不定积分 =(   )。
   

题目解答

答案

C. $\dfrac {1}{2}\ln (1+2\ln x)+C$

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是通过换元法将复杂的积分转化为简单的形式进行计算。

  1. 设 $\( t = 1 + 2\ln x$ )) ，对 $t$ 求导，根据求导公式 $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$ 可得：
    $\( dt = \frac{2}{x}dx$ ) ，即 $\( \frac{1}{2}dt = \frac{1}{x}dx$ 。
  2. 将原积分 $\int \rac{dx}{x(1 + 2\ln x)}$ 进行换元，把 $\frac{1}{x}dx$ 换成 $\frac{1}{2}dt$ ， $1 + 2\ln x$ 换成 $t$ ，可得：
    $\( \int \frac{dx}{x(1 + 2\ln x)} = \int \frac{\frac{1}{2}dt}{t}$ 。
  3. 根据积分公式 $\int \frac{1}{t}dt = \ln|t| + C$ ，对 $\int \frac{\{1}{2}dt}{t}$ 进行计算：
    $\( \int \frac{\{1}{2}dt}{t} = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt = \frac{1}{2}\ln|t| + C$ 。
  4. 把 $t = 1 + + 2\ln x$ 代回上式，可得：
    $\( \frac{1}{2}\ln|1 + + 2\ln x| + C$ ，因为 $1 + 2\ln x>0$ ，所以去掉绝对值可以去掉，结果为 $\frac{1}{2}\ln(1 + 2\ln x) + C$ 。

本题考查不定积分的计算，解题思路是通过换元法将复杂的积分转化为简单的形式进行计算。

  1. 设 $t = 1 + 2\ln x$ ，对 $t$ 求导，根据求导公式 $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$ 可得：
    $\( dt = \frac{2}{x}dx$ ，即 $\frac{1}{2}dt = \frac{1}{x}dx$ 。
  2. 将流将原积分 $\int \frac{dx}{x(1 + 2\ln x)}$ 进行换元，把 $\frac{1}{x}dx$ 换成 $\frac{1}{2}dt$ ， $1 + 2\ln x$ 换成 $t$ ，可得：
    $\( \int \frac{dx}{x(1 + 2\ln x)} = \int \frac{\{1}{2}dt}{t}$ 。
    3.根据积分公式 $\int \frac{1t dt = \ln|t| + C$ ，对 $\int \frac{\{1}{2}dt}{t}$ ) 进行计算
    $\( \int \frac{\{1}{2}dt}{t} = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt = \frac{1}{2}\ln|t| + C$ 。
    4.把 \( t = 1 + 2\ln x 代回上式，可得： $\( \frac{1}{2}\ln|1 + 2\ln x| + C$ ，因为 $1 + 2\ln x>0$ ，所以绝对值可以去掉，结果为 $\frac{1}{2}\ln(1 + 2\ln x) + C$ 。