设总体X的概率密度为-|||-f(x)= ) (theta +1)(x)^theta ,0lt xlt 1 0, . ,-|||-其中 theta gt -1 是未知参数,X1,X 2,···,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法-|||-和最大似然估计法求θ的估计量.

步骤 1：矩估计法
首先，我们需要计算总体X的期望值E(X)。根据给定的概率密度函数，我们有：
$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{1} (\theta + 1)x^{\theta + 1} dx$
$= (\theta + 1) \int_{0}^{1} x^{\theta + 1} dx$
$= (\theta + 1) \left[ \frac{x^{\theta + 2}}{\theta + 2} \right]_{0}^{1}$
$= (\theta + 1) \frac{1}{\theta + 2}$
$= \frac{\theta + 1}{\theta + 2}$
设样本均值为 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，根据矩估计法，我们有：
$\frac{\theta + 1}{\theta + 2} = \overline{X}$
解得未知参数θ的矩估计量为：
$\hat{\theta} = \frac{2\overline{X} - 1}{1 - \overline{X}}$

步骤 2：最大似然估计法
设x1, x2, ..., xn是相应于样本X1, X2, ..., Xn的样本值，似然函数为：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} (\theta + 1)x_i^{\theta}$
$= (\theta + 1)^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta}$
$= (\theta + 1)^n \exp\left(\theta \sum_{i=1}^{n} \ln x_i\right)$
对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$\ln L(\theta) = n \ln (\theta + 1) + \theta \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$
对对数似然函数求导，得到：
$\frac{d[\ln L(\theta)]}{d\theta} = \frac{n}{\theta + 1} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$
令导数等于0，解得θ的最大似然估计值为：
$\hat{\theta} = -1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}$