题目
λ取何值时，非齐次线性方程组{λ{x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)=1，}{x)_(1)+λ(x)_(2)+(x)_(3)=λ，}{x)_(1)+(x)_(2)+λ(x)_(3)=(λ)^2}.（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解．
λ取何值时，非齐次线性方程组$\left\{\begin{array}{l}{λ{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=1，}\\{{x}_{1}+λ{x}_{2}+{x}_{3}=λ，}\\{{x}_{1}+{x}_{2}+λ{x}_{3}={λ}^{2}}\end{array}\right.$
（1）有唯一解；
（2）无解；
（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解．
（1）有唯一解；
（2）无解；
（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解．
题目解答
答案
解：系数行列式D=$|\begin{array}{l}{λ}&{1}&{1}\\{1}&{λ}&{1}\\{1}&{1}&{λ}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{0}&{1-λ}&{1-{λ}^{2}}\\{0}&{λ-1}&{1-λ}\\{1}&{1}&{λ}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{0}&{0}&{2-λ-{λ}^{2}}\\{0}&{λ-1}&{1-λ}\\{1}&{1}&{λ}\end{array}|$=（1-λ）2（2+λ）．
（1）D≠0，解得λ≠1，-2，此时非齐次线性方程组有唯一解；
（2）D=0时，解得λ=1，或-2．
其中λ=-2时，其中第一个方程可以变为：0=1，此时方程组无解．
（3）λ=1时，原方程组变为：x1+x2+x3=1，
此时方程组有无限多解，其通解为：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1-{x}_{2}-{x}_{3}}\\{{x}_{2}={x}_{2}}\\{{x}_{3}={x}_{3}}\end{array}\right.$．
（1）D≠0，解得λ≠1，-2，此时非齐次线性方程组有唯一解；
（2）D=0时，解得λ=1，或-2．
其中λ=-2时，其中第一个方程可以变为：0=1，此时方程组无解．
（3）λ=1时，原方程组变为：x1+x2+x3=1，
此时方程组有无限多解，其通解为：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1-{x}_{2}-{x}_{3}}\\{{x}_{2}={x}_{2}}\\{{x}_{3}={x}_{3}}\end{array}\right.$．
解析
步骤 1：计算系数行列式
首先，计算非齐次线性方程组的系数行列式D，以确定方程组的解的情况。
步骤 2：分析行列式D的值
根据行列式D的值，判断方程组的解的情况。如果D不等于0，则方程组有唯一解；如果D等于0，则需要进一步分析方程组是否有解。
步骤 3：分析特殊情况
当D等于0时，需要进一步分析方程组是否有解。如果方程组有解，则需要求出通解。
首先，计算非齐次线性方程组的系数行列式D，以确定方程组的解的情况。
步骤 2：分析行列式D的值
根据行列式D的值，判断方程组的解的情况。如果D不等于0，则方程组有唯一解；如果D等于0，则需要进一步分析方程组是否有解。
步骤 3：分析特殊情况
当D等于0时，需要进一步分析方程组是否有解。如果方程组有解，则需要求出通解。