28. 求下列矩阵的逆矩阵：(1) }5&2&0&02&1&0&00&0&8&30&0&5&2。
28. 求下列矩阵的逆矩阵：
(1) $\begin{pmatrix}5&2&0&0\\2&1&0&0\\0&0&8&3\\0&0&5&2\end{pmatrix}$；
(2) $\begin{pmatrix}0&0&\frac{1}{5}\\2&1&0\\4&3&0\end{pmatrix}$。
题目解答
答案
(1) 原矩阵为分块对角矩阵，可分解为两个 $2 \times 2$ 矩阵。
$A_{11} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$，$A_{22} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$。
逆矩阵分别为 $A_{11}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$，$A_{22}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -5 & 8 \end{pmatrix}$。
答案： $\boxed{\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & -5 & 8 \end{pmatrix}}$
(2) 原矩阵为 $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{5} \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \end{pmatrix}$。
通过初等行变换或伴随矩阵法，得 $B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & -2 & 1 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
答案： $\boxed{\begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & -2 & 1 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$