若 x in mathbb(R)^+，则下列不等式中一定成立的是（ ）。A. x^sin x = e^sin x ln xB. x^sin x = e^(ln x)/(sin x)C. x^sin x = e^x ln (sin x)D. x^sin x = e^ln (x sin x)
若 $x \in \mathbb{R}^+$，则下列不等式中一定成立的是（ ）。 A. $x^{\sin x} = e^{\sin x \ln x}$ B. $x^{\sin x} = e^{\frac{\ln x}{\sin x}}$ C. $x^{\sin x} = e^{x \ln (\sin x)}$ D. $x^{\sin x} = e^{\ln (x \sin x)}$
题目解答
答案
我们来逐项分析这个题目。
题目给出：$ x \in \mathbb{R}^+ $，即 $ x $ 是正实数。我们要判断下列哪一个等式 一定成立。
注意：题目虽然是以“不等式”开头，但四个选项都是等式，因此可能是题干笔误，实际是问“下列等式中一定成立的是”。
我们分析的是表达式：$ x^{\sin x} $，并判断它是否等于某个以 $ e $ 为底的指数形式。
回顾指数恒等式：
对于任意正实数 $ a > 0 $ 和实数 $ b $，我们有恒等式：
$a^b = e^{b \ln a}$
这是指数函数的定义之一。
应用到本题中，$ x > 0 $，所以 $ x^{\sin x} $ 是有定义的（即使 $ \sin x $ 是负的，也没关系，因为 $ x > 0 $，可以取负指数）。
因此：
$x^{\sin x} = e^{\sin x \cdot \ln x}$
这就是标准的对数恒等式。
分析选项：
A. $ x^{\sin x} = e^{\sin x \ln x} $
这正是我们刚刚推出的恒等式！
所以 A 是恒成立的。
B. $ x^{\sin x} = e^{\frac{\ln x}{\sin x}} $
右边是 $ \exp\left( \frac{\ln x}{\sin x} \right) $，而正确形式应是 $ \exp(\sin x \cdot \ln x) $。
显然，$ \frac{\ln x}{\sin x} \ne \sin x \cdot \ln x $，除非在某些特殊点成立，但不是对所有 $ x \in \mathbb{R}^+ $ 成立。
例如，取 $ x = \frac{\pi}{2} $，则 $ \sin x = 1 $，左边：$ x^{\sin x} = \frac{\pi}{2} $，右边：$ e^{\ln(\pi/2)/1} = \frac{\pi}{2} $，此时碰巧相等。
但再取 $ x = \frac{\pi}{6} $，$ \sin x = \frac{1}{2} $，$ \ln x = \ln(\pi/6) \approx \ln(0.5236) \approx -0.647 $
左边：$ x^{\sin x} = (\pi/6)^{1/2} \approx \sqrt{0.5236} \approx 0.7236 $
右边：$ e^{\frac{\ln x}{\sin x}} = e^{\frac{-0.647}{0.5}} = e^{-1.294} \approx 0.274 $，明显不等。
所以 B 不恒成立。
C. $ x^{\sin x} = e^{x \ln (\sin x)} $
右边是 $ \exp(x \ln(\sin x)) = (\sin x)^x $
而左边是 $ x^{\sin x} $
所以这个等式是说：$ x^{\sin x} = (\sin x)^x $
这显然不恒成立。
例如，取 $ x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $，$ \sin x = 1 $
左边：$ (\pi/2)^1 \approx 1.57 $
右边：$ 1^{\pi/2} = 1 $，不等。
所以 C 错。
另外注意：当 $ \sin x \leq 0 $ 时，$ \ln(\sin x) $ 无定义（在实数范围内），而 $ x \in \mathbb{R}^+ $，但 $ \sin x $ 可正可负，比如 $ x = \frac{3\pi}{2} $，$ \sin x = -1 $，此时 $ \ln(\sin x) $ 无定义，右边无意义，但左边 $ x^{\sin x} = (3\pi/2)^{-1} $ 是正实数，有定义。
所以 C 在很多点上甚至无定义，而左边有定义，故 C 不恒成立。
D. $ x^{\sin x} = e^{\ln (x \sin x)} $
右边：$ e^{\ln(x \sin x)} = x \sin x $，前提是 $ x \sin x > 0 $，否则 $ \ln(x \sin x) $ 无定义。
而左边是 $ x^{\sin x} $，显然不等于 $ x \sin x $。
例如，$ x = \frac{\pi}{2} $，左边 $ \approx 1.57 $，右边 $ = \frac{\pi}{2} \cdot 1 \approx 1.57 $，碰巧相等？
等等，这里数值相近，但再试一个点。
取 $ x = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236 $，$ \sin x = 0.5 $
左边：$ x^{\sin x} = (0.5236)^{0.5} \approx \sqrt{0.5236} \approx 0.7236 $
右边：$ x \sin x = 0.5236 \times 0.5 \approx 0.2618 $
显然不等。
而且当 $ \sin x < 0 $ 时，比如 $ x = \frac{7\pi}{6} $，$ \sin x = -0.5 $，则 $ x \sin x < 0 $，$ \ln(x \sin x) $ 无定义，但左边 $ x^{\sin x} = (7\pi/6)^{-0.5} > 0 $，有定义。
所以 D 不恒成立。
结论：
只有 A 是恒成立的，它是指数恒等式的直接应用。
答案：A
$\boxed{\text{A}}$
解析
考查要点：本题主要考查指数函数与对数函数的恒等变形能力，特别是对公式 $a^b = e^{b \ln a}$ 的理解和应用。
解题核心思路：
题目要求判断 $x^{\sin x}$ 的等价表达式。根据指数函数的基本恒等式，任何正实数的幂都可以转化为以 $e$ 为底的指数形式，即 $a^b = e^{b \ln a}$。因此，直接应用该公式即可判断正确选项。
破题关键点：
- 明确公式：$x^{\sin x} = e^{\sin x \cdot \ln x}$ 是恒成立的。
- 排除干扰项：其他选项的错误形式可能涉及分子分母颠倒、混淆底数与指数、忽略定义域等。
选项分析
选项A
$x^{\sin x} = e^{\sin x \ln x}$
正确性：根据指数恒等式 $a^b = e^{b \ln a}$，当 $x > 0$ 时，该等式恒成立。
选项B
$x^{\sin x} = e^{\frac{\ln x}{\sin x}}$
错误原因：
- 公式混淆：正确形式应为 $\sin x \cdot \ln x$，而非 $\frac{\ln x}{\sin x}$。
- 反例验证：取 $x = \frac{\pi}{6}$，计算得左边约为 $0.7236$，右边约为 $0.274$，明显不等。
选项C
$x^{\sin x} = e^{x \ln (\sin x)}$
错误原因：
- 底数与指数颠倒：右边等价于 $(\sin x)^x$，与左边 $x^{\sin x}$ 一般不相等。
- 定义域问题：当 $\sin x \leq 0$ 时，$\ln (\sin x)$ 无定义，但左边仍有效。
选项D
$x^{\sin x} = e^{\ln (x \sin x)}$
错误原因：
- 简化错误：右边等价于 $x \sin x$，与左边 $x^{\sin x}$ 一般不等。
- 定义域问题：当 $x \sin x \leq 0$ 时，$\ln (x \sin x)$ 无定义，但左边仍有效。