题目
已知随机变量X在(1,2)上服从均匀分布,在X =x条件下Y服从参数为x的指数 分布则E(XY) = .
已知随机变量X在(1,2)上服从均匀分布,在X =x条件下Y服从参数为x的指数 分布则E(XY) = .
题目解答
答案
[答案]1
解析
步骤 1：确定X的分布
随机变量X在(1,2)上服从均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases}
1, & \text{if } 1 < x < 2 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases} \]
步骤 2：确定Y的条件分布
在X = x条件下，Y服从参数为x的指数分布，其条件概率密度函数为：
\[ f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases}
x e^{-xy}, & \text{if } y > 0 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases} \]
步骤 3：计算E(XY)
根据条件期望的性质，我们有：
\[ E(XY) = E_X(E_{Y|X}(XY|X)) \]
其中，\( E_{Y|X}(XY|X) = E_{Y|X}(Y|X) \cdot X \)。
由于Y在X = x条件下服从参数为x的指数分布，其期望为：
\[ E_{Y|X}(Y|X) = \frac{1}{x} \]
因此，
\[ E_{Y|X}(XY|X) = \frac{1}{x} \cdot X = 1 \]
所以，
\[ E(XY) = E_X(1) = 1 \]
随机变量X在(1,2)上服从均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases}
1, & \text{if } 1 < x < 2 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases} \]
步骤 2：确定Y的条件分布
在X = x条件下，Y服从参数为x的指数分布，其条件概率密度函数为：
\[ f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases}
x e^{-xy}, & \text{if } y > 0 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases} \]
步骤 3：计算E(XY)
根据条件期望的性质，我们有：
\[ E(XY) = E_X(E_{Y|X}(XY|X)) \]
其中，\( E_{Y|X}(XY|X) = E_{Y|X}(Y|X) \cdot X \)。
由于Y在X = x条件下服从参数为x的指数分布，其期望为：
\[ E_{Y|X}(Y|X) = \frac{1}{x} \]
因此，
\[ E_{Y|X}(XY|X) = \frac{1}{x} \cdot X = 1 \]
所以，
\[ E(XY) = E_X(1) = 1 \]