题目

设X1,X2,···,,x5是来自总体N(0,1 )的一-|||-个样本,试确定常数a,b,使 =a(({X)_(1)-2(X)_(2))}^2-|||-+b((3{X)_(3)-4(X)_(4))}^2 服从x^2(2)分布.

$\begin {aligned} &设 X_1, X_2, \cdots, X_5 是来自总体 N(0,1) 的一\\&个样本, 试确定常数 a, b, 使 Y=a\left(X_1-2 X_2\right)^2\\&+b\left(3 X_3-4 X_4\right)^2 服从 \chi^2(2) 分布. \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &为了确定常数 a 和 b，我们需要首先计\\&算出 Y 的概率密度函数 (PDF)，然后验\\&证它是否符合 \chi^2(2) 分布的形式。 \\ &已知 X_i 是来自总体 N(0,1) 的样本，因\\&此 X_i \sim N(0,1)。而由于 X_i 是标准正态\\&分布，可以得出以下性质： \\ &1. X_i 是对称的，即 X_i 和 -X_i 有相同的\\&分布。 \\ &2. X_i^2 \sim \chi^2(1)，即平方后的 X_i 服从\\&自由度为 1 的卡方分布。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &我们的目标是找到合适的 a 和 b，使得\\& Y = a\left(X_1-2X_2\right)^2 + b\left(3X_3-4X_4\right)^2 符合\\& \chi^2(2) 分布的形式。 \\ &首先，计算 Y 的平方： \\ &Y^2 = \left(a\left(X_1-2X_2\right)^2 + b\left(3X_3-4X_4\right)^2\right)^2 \\ &由于 X_i 独立，展开后含有交叉项的交\\&叉项期望为 0。因此，可以将 Y^2 等于\\&各项平方的和： \\ &Y^2 = a^2\left(X_1-2X_2\right)^4 + b^2\left(3X_3-4X_4\right)^4 \\ &然后，考虑 a 和 b 的取值，使得 Y^2 的分\\&布满足 \chi^2(2)。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &对于 \chi^2(2) 分布，概率密度函数为： \\ &f(x) = \frac{1}{2}x\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}, \quad x \geq 0 \\ &现在，我们计算 Y^2 的概率密度函数。\\&对于任意 y > 0，有： \\ &P(Y^2 \leq y) =\\& P\left(a^2\left(X_1-2X_2\right)^4 + b^2\left(3X_3-4X_4\right)^4 \leq y\right) \\ &由于 X_i 是标准正态分布，可以使用变\\&量替换 U = X_1-2X_2 和 V = 3X_3-4X_4： \\ &P\left(a^2U^4 + b^2V^4 \leq y\right) \\ &根据题目要求，我们希望 Y^2 符合自由\\&度为 2 的 \chi^2 分布。所以令 y = 2，得\\&到： \end {aligned}$ $\begin {aligned} &P\left(a^2U^4 + b^2V^4 \leq 2\right) = \frac{1}{2} \\ &接下来，我们要找到适合 \\ &的 a 和 b 的取值。考虑两个方程： \\ &E[U^4] = \frac{1}{2} \\ &E[V^4] = \frac{1}{2} \\ &利用上述性质的结论，U^4 和 V^4 的期望\\&值等于自由度为 1 的卡方分布的期望\\&值。自由度为 1 的卡方分布的期望值\\&为 2。代入以上方程，得到： \\ &a^2 \cdot 2 = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad a =\\& \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} \\ &b^2 \cdot 2 = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad b =\\& \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} \end {aligned}$ $\begin {aligned} &因此，取 a = \frac{1}{2} 和 b = \frac{1}{2}，可以确保\\& Y = a\left(X_1-2X_2\right)^2 + b\left(3X_3-4X_4\right)^2 服从\\& \chi^2(2) 分布。 \end {aligned}$