题目

2023年，第十三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）二、(本题满分12分)求区间[0,1]上的连续函数f(x)，使之满足f(x)=1+(1-x)int_(0)^xyf(y)dy+xint_(x)^1(1-y)f(y)dy.

2023年，第十三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类） 二、(本题满分12分)求区间[0,1]上的连续函数f(x)，使之满足 $f(x)=1+(1-x)\int_{0}^{x}yf(y)dy+x\int_{x}^{1}(1-y)f(y)dy.$

题目解答

答案

为了求解区间 $[0,1]$ 上的连续函数 $ f(x) $，满足 \[ f(x) = 1 + (1-x) \int_{0}^{x} y f(y) \, dy + x \int_{x}^{1} (1-y) f(y) \, dy, \] 我们首先对等式两边关于 $ x $ 求导。利用积分的求导法则，我们得到 \[ f'(x) = - \int_{0}^{x} y f(y) \, dy + (1-x) x f(x) + \int_{x}^{1} (1-y) f(y) \, dy - x (1-x) f(x). \] 注意到 $(1-x) x f(x) - x (1-x) f(x) = 0$，所以 \[ f'(x) = - \int_{0}^{x} y f(y) \, dy + \int_{x}^{1} (1-y) f(y) \, dy. \] 接下来，我们再次对等式两边关于 $ x $ 求导，得到 \[ f''(x) = - x f(x) - (1-x) f(x) = - f(x). \] Thus, we have \[ f''(x) + f(x) = 0. \] 这是一个二阶线性齐次微分方程，其通解为 \[ f(x) = A \cos x + B \sin x, \] 其中 $ A $ 和 $ B $ 是常数。为了确定 $ A $ 和 $ B $，我们使用原方程在 $ x = 0 $ 和 $ x = 1 $ 处的条件。首先，将 $ x = 0 $ 代入原方程，得到 \[ f(0) = 1 + (1-0) \int_{0}^{0} y f(y) \, dy + 0 \int_{0}^{1} (1-y) f(y) \, dy = 1. \] 所以， $ f(0) = 1 $。将 $ f(x) = A \cos x + B \sin x $ 代入 $ f(0) = 1 $，得到 \[ A \cos 0 + B \sin 0 = A = 1. \] 因此， $ A = 1 $。接下来，将 $ x = 1 $ 代入原方程，得到 \[ f(1) = 1 + (1-1) \int_{0}^{1} y f(y) \, dy + 1 \int_{1}^{1} (1-y) f(y) \, dy = 1. \] 所以， $ f(1) = 1 $。将 $ f(x) = \cos x + B \sin x $ 代入 $ f(1) = 1 $，得到 \[ \cos 1 + B \sin 1 = 1. \] 解得 \[ B = \frac{1 - \cos 1}{\sin 1}. \] 因此，函数 $ f(x) $ 为 \[ f(x) = \cos x + \frac{1 - \cos 1}{\sin 1} \sin x. \] 为了验证，我们可以将 $ f(x) $ 代回原方程，但这里我们直接给出答案 \[ \boxed{\cos x + \frac{1 - \cos 1}{\sin 1} \sin x}. \]

解析

考查要点：本题主要考查积分方程转化为微分方程的能力，以及二阶常微分方程的求解方法。关键在于通过两次求导消去积分项，得到微分方程，并利用边界条件确定通解中的常数。

解题思路：

  1. 对原方程两次求导，将积分方程转化为微分方程，消去积分项。
  2. 求解二阶齐次微分方程，得到通解形式。
  3. 代入原方程在端点处的条件（如$x=0$和$x=1$），确定通解中的常数。

破题关键：

  • 第一次求导：利用积分上限求导法则，简化积分项。
  • 第二次求导：得到$f''(x) + f(x) = 0$，这是标准的简谐振动方程。
  • 边界条件：通过$x=0$和$x=1$处的函数值确定通解中的常数。

步骤1：第一次求导

对原方程两边关于$x$求导：
$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{d}{dx} \left[ 1 + (1-x)\int_{0}^{x} y f(y) dy + x \int_{x}^{1} (1-y) f(y) dy \right] \\&= -\int_{0}^{x} y f(y) dy + (1-x) \cdot x f(x) + \int_{x}^{1} (1-y) f(y) dy - x \cdot (1-x) f(x).\end{aligned}$
关键简化：$(1-x) \cdot x f(x) - x \cdot (1-x) f(x) = 0$，因此：
$f'(x) = -\int_{0}^{x} y f(y) dy + \int_{x}^{1} (1-y) f(y) dy.$

步骤2：第二次求导

对$f'(x)$再次求导：
$\begin{aligned}f''(x) &= \frac{d}{dx} \left[ -\int_{0}^{x} y f(y) dy + \int_{x}^{1} (1-y) f(y) dy \right] \\&= -x f(x) - (1-x) f(x) \\&= -f(x).\end{aligned}$
得到微分方程：
$f''(x) + f(x) = 0.$

步骤3：求解微分方程

通解为：
$f(x) = A \cos x + B \sin x.$

步骤4：确定常数$A$和$B$

  1. 代入$x=0$：
    原方程给出$f(0) = 1$，代入通解得：
    $A \cos 0 + B \sin 0 = A = 1 \quad \Rightarrow \quad A = 1.$

  2. 代入$x=1$：
    原方程给出$f(1) = 1$，代入通解得：
    $\cos 1 + B \sin 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad B = \frac{1 - \cos 1}{\sin 1}.$