题目
已知某苗圃中树苗高度服从正态分布,今工作人员从苗圃中随机抽取64株,测得苗高并求得其均值62厘米,标准差为8.2厘米。请确定该苗圃中树苗平均高度的置信区间,置信水平95%。
已知某苗圃中树苗高度服从正态分布,今工作人员从苗圃中随机抽取64株,测得苗高并求得其均值62厘米,标准差为8.2厘米。请确定该苗圃中树苗平均高度的置信区间,置信水平95%。
题目解答
答案
解:
该苗圃中树苗平均高度的置信水平为95%的置信区间为(59.99,64.01)厘米。
解析
步骤 1：确定置信水平和样本信息
置信水平为95%，即$\alpha=0.05$，样本容量$n=64$，样本均值$\overline{x}=62$厘米，样本标准差$s=8.2$厘米。
步骤 2：计算标准误差
标准误差$SE=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{8.2}{\sqrt{64}}=\dfrac{8.2}{8}=1.025$厘米。
步骤 3：确定临界值
由于样本容量较大，可以使用正态分布的临界值。对于95%的置信水平，临界值$z_{1-\frac{\alpha}{2}}=1.96$。
步骤 4：计算置信区间
置信区间为$\overline{x}\pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\times SE=62\pm 1.96\times 1.025=62\pm 2.01$。
置信水平为95%，即$\alpha=0.05$，样本容量$n=64$，样本均值$\overline{x}=62$厘米，样本标准差$s=8.2$厘米。
步骤 2：计算标准误差
标准误差$SE=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{8.2}{\sqrt{64}}=\dfrac{8.2}{8}=1.025$厘米。
步骤 3：确定临界值
由于样本容量较大，可以使用正态分布的临界值。对于95%的置信水平，临界值$z_{1-\frac{\alpha}{2}}=1.96$。
步骤 4：计算置信区间
置信区间为$\overline{x}\pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\times SE=62\pm 1.96\times 1.025=62\pm 2.01$。