题目
X_(1) ... X_(n) 和 Y_(1) ... Y_(n) 分别取自正态总体 X sim N(mu_(1), sigma^2) 和 Y sim N(mu_(2), sigma^2) , 且 X 与 Y 独立, 则 ((n-1)(S_(1)^2 + S_(2)^2))/(sigma^2) 服从A. F 分布B. 正态分布C. t 分布D. chi^2 分布
$X_{1} \cdots X_{n}$ 和 $Y_{1} \cdots Y_{n}$ 分别取自正态总体 $X \sim N(\mu_{1}, \sigma^{2})$ 和 $Y \sim N(\mu_{2}, \sigma^{2})$ , 且 $X$ 与 $Y$ 独立, 则 $\frac{(n-1)(S_{1}^{2} + S_{2}^{2})}{\sigma^{2}}$ 服从
A. F 分布
B. 正态分布
C. t 分布
D. $\chi^{2}$ 分布
题目解答
答案
D. $\chi^{2}$ 分布
解析
步骤 1：样本方差的卡方分布
对于正态总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$ 和 $Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$，样本方差 $S_1^2$ 和 $S_2^2$ 满足： \[ \frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1), \quad \frac{(n-1)S_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1). \] 这是因为样本方差的分布与卡方分布有关，且自由度为样本量减一。
步骤 2：独立样本方差之和的卡方分布
由于两样本独立，两卡方变量之和仍为卡方变量，自由度相加： \[ \frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} + \frac{(n-1)S_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) + \chi^2(n-1) = \chi^2(2(n-1)). \] 这是因为卡方分布的可加性，当两个独立的卡方变量相加时，其自由度相加。
步骤 3：合并样本方差的卡方分布
将步骤 2 的结果合并，得到： \[ \frac{(n-1)(S_1^2 + S_2^2)}{\sigma^2} \sim \chi^2(2(n-1)). \] 这是因为将两个独立的卡方变量相加，其自由度相加，从而得到合并后的卡方分布。
对于正态总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$ 和 $Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$，样本方差 $S_1^2$ 和 $S_2^2$ 满足： \[ \frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1), \quad \frac{(n-1)S_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1). \] 这是因为样本方差的分布与卡方分布有关，且自由度为样本量减一。
步骤 2：独立样本方差之和的卡方分布
由于两样本独立，两卡方变量之和仍为卡方变量，自由度相加： \[ \frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} + \frac{(n-1)S_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) + \chi^2(n-1) = \chi^2(2(n-1)). \] 这是因为卡方分布的可加性，当两个独立的卡方变量相加时，其自由度相加。
步骤 3：合并样本方差的卡方分布
将步骤 2 的结果合并，得到： \[ \frac{(n-1)(S_1^2 + S_2^2)}{\sigma^2} \sim \chi^2(2(n-1)). \] 这是因为将两个独立的卡方变量相加，其自由度相加，从而得到合并后的卡方分布。