题目

设D是一个三阶行列式，alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)分别是其第1、2、3列，已知D=2，求|3alpha_(2)+2alpha_(3),alpha_(1),-2alpha_(2)|

设D是一个三阶行列式，$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$分别是其第1、2、3列，已知D=2，求$|3\alpha_{2}+2\alpha_{3},\alpha_{1},-2\alpha_{2}|$

题目解答

答案

设原行列式 $ D = \begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{vmatrix} = 2 $。
目标行列式为 $ D' = \begin{vmatrix} 3\alpha_2 + 2\alpha_3 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix} $。

步骤1：利用行列式线性性质
将第一列拆分：
$D' = \begin{vmatrix} 3\alpha_2 + 2\alpha_3 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} \alpha_2 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix}$

步骤2：提取公因子
$D' = 3 \times (-2) \begin{vmatrix} \alpha_2 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix} + 2 \times (-2) \begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix}$
由于 $ \begin{vmatrix} \alpha_2 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix} = 0 $（两列相同），故第一项为0。

步骤3：计算第二项
$D' = -4 \begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix}$
通过列交换将 $ \begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix} $ 转化为 $ D $：

  • 交换第1列和第2列：$ \begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_3 & \alpha_2 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix} $
  • 交换第2列和第3列：$ \begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{vmatrix} = D $
    共交换2次，符号不变，故 $ \begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix} = D = 2 $。

步骤4：代入求值
$D' = -4 \times 2 = -8$

答案： $\boxed{-8}$

解析

本题考查行列式的性质，包括行列式的线性性质、提取公因子以及列交换对行列式值的影响。解题思路是先利用行列式的线性性质将目标行列式拆分成两个行列式之和，再提取公因子，根据行列式两列相同则值为零的性质化简其中一项，然后通过列交换将剩下的行列式转化为已知行列式，最后代入已知行列式的值进行计算。

详细解答

设原行列式$D = \begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{vmatrix} = 2$，目标行列式为$D' = \begin{vmatrix} 3\alpha_2 + 2\alpha_3 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix}$。

  1. 利用行列式线性性质拆分第一列：
    根据行列式的线性性质，若某一列是两个向量之和，则该行列式可拆分为两个行列式之和，即$D' = \begin{vmatrix} 3\alpha_2 + 2\alpha_3 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} \alpha_2 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix}$。
  2. 提取公因子：
    对于$\begin{vmatrix} \alpha_2 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix}$，第三列有公因子$-2$，提取公因子可得$\begin{vmatrix} \alpha_2 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix} = (-2)\begin{vmatrix} \alpha_2 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix}$；同理，对于$\begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix}$，第三列提取公因子$-2$可得$\begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & -2\alpha_2 \end{vmatrix} = (-2)\begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix}$。
    所以$D' = 3\times (-2) \begin{vmatrix} \alpha_2 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix} + 2\times (-2) \begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix}$。
    由于行列式中有两列相同，则该行列式的值为$0$，所以$\begin{vmatrix} \alpha_2 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix} = 0$，那么$3\times (-2) \begin{vmatrix} \alpha_2 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix} = 0$。
    此时$D' = -4 \begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix}$。
  3. 通过列交换将$\begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix}$转化为$D$：
    交换行列式的两列，行列式的值变号。
    先交换$\begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix}$的第$1$列和第$2$列，得到$\begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_3 & \alpha_2 \end{vmatrix}$，此时行列式的值变为原来的$-1$倍，即$\begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_3 & \alpha_2 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix}$。
    再交换$\begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_3 & \alpha_2 \end{vmatrix}$的第$2$列和第$3$列，得到$\begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{vmatrix}$，此时行列式的值又变为原来的$-1$倍，即$\begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_3 & \alpha_2 \end{vmatrix}$。
    因为$\begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{vmatrix} = D = 2$，且经过两次列交换，所以$\begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix} = D = 2$。
  4. 代入求值：
    将$\begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix} = 2$代入$D' = -4 \begin{vmatrix} \alpha_3 & \alpha_1 & \alpha_2 \end{vmatrix}$，可得$D' = -4\times 2 = -8$。