题目

5.设X_(1),X_(2),... X_(n)是取自总体N(0,1)的样本，则X^2=X_(1)^2+X_(2)^2+X_(3)^2simchi^2(_).

5.设$X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$是取自总体$N(0,1)$的样本，则$X^{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\sim\chi^{2}(\_)$.

题目解答

答案

设 $X_1, X_2, X_3$ 是取自总体 $N(0,1)$ 的样本，每个 $X_i^2$ 服从自由度为 1 的卡方分布。由于卡方分布具有可加性，且 $X_1^2, X_2^2, X_3^2$ 相互独立，它们的和 $X^2 = X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 服从自由度为 3 的卡方分布。 因此，答案为 $\boxed{3}$。

解析

考查要点：本题主要考查卡方分布的定义及其可加性性质。

解题核心思路：

  1. 标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布。
  2. 独立卡方变量的和仍服从卡方分布，自由度为各自由度之和。

破题关键点：

  • 明确题目中参与求和的变量个数（本题为3个独立标准正态变量的平方）。
  • 利用卡方分布的可加性直接求和自由度。

  1. 确定单个变量的分布：
    每个 $X_i \sim N(0,1)$，因此 $X_i^2 \sim \chi^2(1)$（自由度为1的卡方分布）。

  2. 验证独立性：
    由于 $X_1, X_2, X_3$ 是来自总体的简单随机样本，它们相互独立，故 $X_1^2, X_2^2, X_3^2$ 也相互独立。

  3. 应用卡方分布的可加性：
    独立卡方变量的和仍服从卡方分布，自由度为各自由度之和。
    因此，$X^2 = X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 \sim \chi^2(1 + 1 + 1) = \chi^2(3)$。