对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长，1名家长，2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15，若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。(1)求参加会议的家长数X超过450概率；(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。

考查要点：本题主要考查中心极限定理和棣莫佛-拉普拉斯定理的应用，涉及期望、方差的计算以及正态近似的概率计算。

解题思路：

1. 问题（1）：将总家长数视为独立同分布随机变量之和，利用中心极限定理近似为正态分布，计算指定概率。
2. 问题（2）：将学生人数视为二项分布，通过棣莫佛-拉普拉斯定理转化为正态分布，计算累积概率。

破题关键：

• 期望与方差的计算：正确计算单个学生家长数的期望和方差。
• 正态近似条件：确认样本量足够大（如n≥30），满足正态近似条件。
• 标准化处理：将实际值转化为标准正态变量Z，利用标准正态分布表查概率。

第（1）题

计算单个学生家长数的期望与方差

• 期望：
  $E(X_i) = 0 \times 0.05 + 1 \times 0.8 + 2 \times 0.15 = 1.1$
• 方差：
  $D(X_i) = (0^2 \times 0.05) + (1^2 \times 0.8) + (2^2 \times 0.15) - (1.1)^2 = 0.19$

应用中心极限定理

总家长数$X = X_1 + X_2 + \dots + X_{400}$近似服从正态分布：
$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$
其中：
$\mu_X = 400 \times 1.1 = 440, \quad \sigma_X^2 = 400 \times 0.19 = 76, \quad \sigma_X = \sqrt{76} \approx 8.7178$

计算概率

标准化后：
$P(X > 450) = P\left(Z > \frac{450 - 440}{8.7178}\right) = P(Z > 1.146)$
查标准正态分布表得：
$P(Z > 1.146) \approx 1 - 0.8743 = 0.1257$

第（2）题

确定二项分布参数

设$Y$为有1名家长的学生数，则：
$Y \sim B(n=400, p=0.8)$
均值与方差：
$\mu_Y = 400 \times 0.8 = 320, \quad \sigma_Y^2 = 400 \times 0.8 \times 0.2 = 64, \quad \sigma_Y = 8$

应用棣莫佛-拉普拉斯定理

标准化后：
$P(Y \leq 340) = P\left(Z \leq \frac{340 - 320}{8}\right) = P(Z \leq 2.5)$
查标准正态分布表得：
$P(Z \leq 2.5) \approx 0.9938$