题目
1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布，现在随机的抽取 16 只，设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件寿命总和大于 1920 小时的概率。
1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布，现在随机的抽取 16 只，设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件寿命总和大于 1920 小时的概率。
题目解答
答案
解：设第 i 只寿命为 Xi，（1≤i≤16），故 E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理 1 知从而P(∑i=116Xi>1920)=1−P(∑i=116Xi≤1920)=1−0.7881=0.2119 .
解析
步骤 1：定义随机变量
设第 i 只元件的寿命为 \(X_i\)，其中 \(1 \leq i \leq 16\)。根据题意，每个 \(X_i\) 都服从均值为 100 小时的指数分布。指数分布的概率密度函数为 \(f(x) = \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}}\)，其中 \(\mu\) 是均值。因此，每个 \(X_i\) 的均值 \(E(X_i) = 100\) 小时，方差 \(D(X_i) = 100^2\)。
步骤 2：计算总和的期望和方差
由于 \(X_i\) 之间相互独立，总和 \(S = \sum_{i=1}^{16} X_i\) 的期望和方差分别为：
\[E(S) = \sum_{i=1}^{16} E(X_i) = 16 \times 100 = 1600\]
\[D(S) = \sum_{i=1}^{16} D(X_i) = 16 \times 100^2 = 160000\]
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，总和 \(S\) 的分布近似于正态分布。因此，我们可以将 \(S\) 视为近似服从均值为 1600 小时，方差为 160000 的正态分布。即 \(S \sim N(1600, 160000)\)。
步骤 4：计算概率
我们需要计算 \(P(S > 1920)\)。首先，将 \(S\) 标准化为标准正态分布：
\[Z = \frac{S - 1600}{\sqrt{160000}} = \frac{S - 1600}{400}\]
因此，\(P(S > 1920) = P\left(Z > \frac{1920 - 1600}{400}\right) = P(Z > 0.8)\)。
查标准正态分布表，得到 \(P(Z > 0.8) = 1 - P(Z \leq 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119\)。
设第 i 只元件的寿命为 \(X_i\)，其中 \(1 \leq i \leq 16\)。根据题意，每个 \(X_i\) 都服从均值为 100 小时的指数分布。指数分布的概率密度函数为 \(f(x) = \frac{1}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}}\)，其中 \(\mu\) 是均值。因此，每个 \(X_i\) 的均值 \(E(X_i) = 100\) 小时，方差 \(D(X_i) = 100^2\)。
步骤 2：计算总和的期望和方差
由于 \(X_i\) 之间相互独立，总和 \(S = \sum_{i=1}^{16} X_i\) 的期望和方差分别为：
\[E(S) = \sum_{i=1}^{16} E(X_i) = 16 \times 100 = 1600\]
\[D(S) = \sum_{i=1}^{16} D(X_i) = 16 \times 100^2 = 160000\]
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，总和 \(S\) 的分布近似于正态分布。因此，我们可以将 \(S\) 视为近似服从均值为 1600 小时，方差为 160000 的正态分布。即 \(S \sim N(1600, 160000)\)。
步骤 4：计算概率
我们需要计算 \(P(S > 1920)\)。首先，将 \(S\) 标准化为标准正态分布：
\[Z = \frac{S - 1600}{\sqrt{160000}} = \frac{S - 1600}{400}\]
因此，\(P(S > 1920) = P\left(Z > \frac{1920 - 1600}{400}\right) = P(Z > 0.8)\)。
查标准正态分布表，得到 \(P(Z > 0.8) = 1 - P(Z \leq 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119\)。