6.填空客观题（自动批阅）（10分）设在总体N(mu,sigma^2)中抽得一容量为16的样本，这里mu未知，sigma^2为1，S^2为修正的样本方差，求D(S^2)____（答案写成分数a/b形式）

考查要点：本题主要考查修正样本方差的方差计算，涉及卡方分布的性质及其方差的应用。

解题核心思路：

1. 修正样本方差的定义：$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，它是总体方差$\sigma^2$的无偏估计。
2. 卡方分布的转化：当总体服从正态分布时，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
3. 卡方分布的方差性质：若$X \sim \chi^2(k)$，则$D(X) = 2k$。
4. 方差的线性性质：利用方差的齐次性，将卡方分布的方差转化为$S^2$的方差。

破题关键点：

• 建立卡方分布与$S^2$的关系，通过方差公式推导最终结果。

已知总体$N(\mu, \sigma^2)$，样本容量$n=16$，总体方差$\sigma^2=1$。修正样本方差$S^2$满足：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
其中自由度为$n-1=15$。

根据卡方分布的性质，$\chi^2(15)$的方差为：
$D\left(\chi^2(15)\right) = 2 \times 15 = 30$

将$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$记为$\chi^2(15)$，则：
$(n-1)S^2 = \sigma^2 \cdot \chi^2(15)$

对两边取方差：
$D\left((n-1)S^2\right) = D\left(\sigma^2 \cdot \chi^2(15)\right)$

利用方差的齐次性：
$(n-1)^2 D(S^2) = \sigma^4 \cdot D\left(\chi^2(15)\right)$

代入已知条件$\sigma^2=1$，$n-1=15$，$D\left(\chi^2(15)\right)=30$：
$15^2 D(S^2) = 1^2 \cdot 30$

解得：
$D(S^2) = \frac{30}{15^2} = \frac{30}{225} = \frac{2}{15}$