题目

9.(10.0分)若总体X~N(0,1), X_(1),X_(2),X_(3) 为来自总体的样本，则 X_(1)^2+X_(2)^2+X_(3)^2 sim chi^2(_). 第1空 3

9.(10.0分)若总体X~N(0,1), $X_{1},X_{2},X_{3}$ 为来自总体的样本，则 $X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2} \sim \chi^{2}(\_).$ 第1空 3

题目解答

答案

要确定 $X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 的分布，我们需要理解卡方分布的性质。卡方分布，记作 $\chi^2(n)$，是 $n$ 个独立标准正态随机变量的平方和的分布。在这个问题中，$X_1, X_2, X_3$ 是来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本，这意味着 $X_1, X_2, X_3$ 都是独立的标准正态随机变量。因此，$X_1^2, X_2^2,$ 和 $X_3^2$ 分别是自由度为1的卡方随机变量。这些变量的和，$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$，是自由度为 $1 + 1 + 1 = 3$ 的卡方随机变量。所以，$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 \sim \chi^2(3)$。答案是 $\boxed{3}$。

解析

本题考查卡方分布的定义。解题思路是依据卡方分布的定义，判断给定的随机变量和所服从的卡方分布的自由度。

卡方分布的定义：若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$相互独立，且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则随机变量$\chi^{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{n}^{2}$服从自由度为$n$的卡方分布，记为$\chi^{2}\sim\chi^{2}(n)$。
已知总体$X\sim N(0,1)$，$X_{1},X_{2},X_{3}$为来自总体的样本，根据样本的性质可知$X_{1},X_{2},X_{3}$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$。
那么$X_{1}^{2},X_{2}^{2},X_{3}^{2}$分别是自由度为$1$的卡方随机变量。
由卡方分布的可加性，$X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}$是$3$个独立的自由度为$1$的卡方随机变量之和，所以$X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}$服从自由度为$1 + 1 + 1 = 3$的卡方分布，即$X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\sim\chi^{2}(3)$。