cos 5i 的值为().A. (e^5i + e^-5i)/(2)B. (e^5i + e^-5i)/(2i)C. (e^5 + e^-5)/(2)D. (e^5 + e^-5)/(2i)

考查要点：本题主要考查复数余弦函数的定义及其表达式，需要学生掌握欧拉公式在复变函数中的应用，并能正确代入复数变量进行计算。

解题核心思路：
利用复数余弦函数的定义式 $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$，将 $z = 5i$ 代入公式，通过指数运算化简表达式，最终与选项对比得出答案。

破题关键点：

1. 正确代入复数变量：将 $z = 5i$ 代入公式时，需注意 $i \cdot 5i$ 和 $-i \cdot 5i$ 的计算。
2. 化简指数项：利用 $i^2 = -1$ 化简指数部分，得到实数结果。
3. 识别双曲余弦关系：理解 $\cos(ix) = \cosh(x)$ 的关系可快速验证答案。

步骤1：代入复数余弦公式

根据复数余弦定义：
$\cos(5i) = \frac{e^{i \cdot 5i} + e^{-i \cdot 5i}}{2}$

步骤2：计算指数部分

• $i \cdot 5i = 5i^2 = 5(-1) = -5$
• $-i \cdot 5i = -5i^2 = -5(-1) = 5$

代入后得：
$\cos(5i) = \frac{e^{-5} + e^{5}}{2} = \frac{e^5 + e^{-5}}{2}$

步骤3：对比选项

• 选项C $\frac{e^5 + e^{-5}}{2}$ 与计算结果完全一致。
• 其他选项错误原因：
  • A：对应 $\cos(5)$，而非 $\cos(5i)$。
  • B/D：分母含 $i$，不符合化简结果。

步骤4：关联双曲余弦函数

进一步可知 $\cos(ix) = \cosh(x)$，因此 $\cos(5i) = \cosh(5) = \frac{e^5 + e^{-5}}{2}$，再次验证选项C正确。