1.设总体Xsim N(mu,sigma^2)，其中mu已知，sigma^2未知，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自X的一个样本，试问：X_(1)+X_(2)+X_(3),X_(2)+3mu，maxX_{1),X_(2),...,X_(n)}，(X_(1)^2+X_(2)^2+...+X_(n)^2)/(sigma^2)中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
题目解答
答案
统计量是样本的函数，不包含未知参数。 1. $X_1 + X_2 + X_3$：仅含样本，无未知参数，是统计量。 2. $X_2 + 3\mu$：含已知参数 $\mu$，是统计量。 3. $\max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$：仅含样本，无未知参数，是统计量。 4. $\frac{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}{\sigma^2}$：含未知参数 $\sigma^2$，非统计量。 答案： 统计量：$X_1 + X_2 + X_3$，$X_2 + 3\mu$，$\max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$ 非统计量：$\frac{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}{\sigma^2}$ $\boxed{ \begin{array}{ccc} \text{统计量：} & X_1 + X_2 + X_3, & X_2 + 3\mu, & \max\{X_1, X_2, \cdots, X_n\} \\ \text{非统计量：} & \frac{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}{\sigma^2} \end{array} }$
解析
本题考查统计量的定义。解题的关键在于明确统计量是样本的函数，且函数函数中不能包含未知参数，然后根据这个定义逐一判断所给的表达式是否为统计量。
1. 判断 $X_{1}+X_{2}+X_{3}$ 是否为统计量
表达式 $X_{1}+X_{2}+X_{3}$ 是由样本 $X_{1},X_{2},X_{3}$ 组成，不包含任何未知参数。根据统计量的定义，它是样本的函数且不包含未知参数的表达式为统计量，所以 $X_{1}+X_{2}+X_{3}$ 是统计量。
2. 判断 $X_{2}+3\mu$ 是否为统计量
已知总体 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ 中 $\mu$ 是已知参数，表达式 $X_{2}+3\mu$ 由样本 $X_{2}$ 和已知参数 $\mu$ 组成，不包含未知参数。因此，$X_{2}+3\mu$ 是统计量。
3. 判断 $\max\{X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\}\}$ 是否为统计量
表达式 $\max\{X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\}$ 是样本 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n} 的函数，不包含未知参数。所以，\(\max\{X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\}$ 是统计量。
4. 判断 $\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}}{\sigma^{2}}$ 是否为统计量
已知总体 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ 中 $\sigma^{2}$ 是未知参数，表达式 $\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}}{\sigma^{2}}$ 中包含未知参数 $\sigma^{2}$。根据统计量不能包含未知参数，所以 $\frac{X_{1}^{2}+_{2}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}}{\sigma^{2}}$ 不是统计量。