题目
20.设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的闭区域为 D=-|||-|(x,y)|(x)^2+(y)^2-xyleqslant 75| ,小山的高度函数为 =f(x,y)=75-(x)^2-(y)^2+xy-|||-(1)设 ((x)_(0),(y)_(0))in D ,问f(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大,若记此方向-|||-导数的最大值为g (x0,y0),试写出g (x0,y0)的表达式;-|||-(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的-|||-起点.也就是说,要在D的边界线 ^2+(y)^2-xy=75 上找出(1)中的g(x,y)达到最大值的点.试-|||-确定攀岩起点的位置.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算梯度
首先，我们需要计算函数 $f(x,y)=75-{x}^{2}-{y}^{2}+xy$ 的梯度。梯度是函数在某一点上增长最快的方向，其大小是该方向上的方向导数的最大值。
$$
\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (-2x+y, -2y+x)
$$
步骤 2：确定方向导数最大值
方向导数最大值等于梯度的模，即
$$
g(x,y) = \sqrt{(-2x+y)^2 + (-2y+x)^2}
$$
步骤 3：求解最大值点
为了找到边界线 ${x}^{2}+{y}^{2}-xy=75$ 上的点，使得 $g(x,y)$ 达到最大值，我们需要将 $g(x,y)$ 表达式代入边界条件中，然后求解。
$$
g(x,y) = \sqrt{(-2x+y)^2 + (-2y+x)^2} = \sqrt{5x^2 + 5y^2 - 6xy}
$$
由于 $x^2 + y^2 - xy = 75$，我们可以将 $x^2 + y^2 - xy$ 替换为 75，得到
$$
g(x,y) = \sqrt{5(x^2 + y^2 - xy)} = \sqrt{5 \times 75} = \sqrt{375}
$$
为了找到 $g(x,y)$ 达到最大值的点，我们需要求解 $x^2 + y^2 - xy = 75$ 的解。通过观察，我们可以发现当 $x = 5$ 和 $y = -5$ 或 $x = -5$ 和 $y = 5$ 时，$g(x,y)$ 达到最大值。
首先，我们需要计算函数 $f(x,y)=75-{x}^{2}-{y}^{2}+xy$ 的梯度。梯度是函数在某一点上增长最快的方向，其大小是该方向上的方向导数的最大值。
$$
\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (-2x+y, -2y+x)
$$
步骤 2：确定方向导数最大值
方向导数最大值等于梯度的模，即
$$
g(x,y) = \sqrt{(-2x+y)^2 + (-2y+x)^2}
$$
步骤 3：求解最大值点
为了找到边界线 ${x}^{2}+{y}^{2}-xy=75$ 上的点，使得 $g(x,y)$ 达到最大值，我们需要将 $g(x,y)$ 表达式代入边界条件中，然后求解。
$$
g(x,y) = \sqrt{(-2x+y)^2 + (-2y+x)^2} = \sqrt{5x^2 + 5y^2 - 6xy}
$$
由于 $x^2 + y^2 - xy = 75$，我们可以将 $x^2 + y^2 - xy$ 替换为 75，得到
$$
g(x,y) = \sqrt{5(x^2 + y^2 - xy)} = \sqrt{5 \times 75} = \sqrt{375}
$$
为了找到 $g(x,y)$ 达到最大值的点，我们需要求解 $x^2 + y^2 - xy = 75$ 的解。通过观察，我们可以发现当 $x = 5$ 和 $y = -5$ 或 $x = -5$ 和 $y = 5$ 时，$g(x,y)$ 达到最大值。