3.设 (x)=dfrac (1)(1+2x+4{x)^2}, 则 ^(100)(0)= __

考查要点：本题主要考查高阶导数的计算，特别是利用泰勒展开（麦克劳林展开）求解高阶导数在特定点的值。关键在于将分母分解并展开为幂级数，从而快速找到目标项的系数。

解题核心思路：

1. 分母分解：将分母 $1 + 2x + 4x^2$ 转化为关于 $t = 2x$ 的二次式 $1 + t + t^2$，便于展开。
2. 幂级数展开：利用递推关系求出 $1/(1 + t + t^2)$ 的展开式，发现系数呈现周期性规律。
3. 提取目标项：通过展开式直接找到 $x^{100}$ 项的系数，结合麦克劳林展开的系数公式，得到高阶导数。

破题关键点：

• 变量代换简化分母形式，转化为已知展开式的结构。
• 周期性系数的发现，避免逐项计算高阶导数。

步骤1：变量代换
令 $t = 2x$，则原函数变为：
$f(x) = \frac{1}{1 + t + t^2}, \quad t = 2x.$

步骤2：展开分母为幂级数
对 $1/(1 + t + t^2)$ 进行幂级数展开，设展开式为 $\sum_{n=0}^\infty a_n t^n$，通过递推关系得：

• $a_0 = 1$，$a_1 = -1$，$a_2 = 0$，后续系数满足 $a_n = -a_{n-1} - a_{n-2}$。
• 系数呈现周期性：$1, -1, 0, 1, -1, 0, \dots$。

步骤3：代入变量并提取目标项
展开式为：
$\frac{1}{1 + t + t^2} = \sum_{k=0}^\infty \left( (2x)^{3k} - (2x)^{3k+1} \right).$
观察 $x^{100}$ 项，仅当 $3k + 1 = 100$ 时存在，解得 $k = 33$，对应系数为 $-2^{100}$。

步骤4：计算高阶导数
根据麦克劳林展开系数公式：
$\frac{f^{(100)}(0)}{100!} = -2^{100} \quad \Rightarrow \quad f^{(100)}(0) = -2^{100} \cdot 100!.$