问λ取何值时，齐次线性方程组⎧⎨⎩(1−λ)x1−2x2+4x3=02x1+(3−λ)x2+x3=0x1+x2+(1−λ)x3=0有非零解?

步骤 1：确定方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式等于零。因此，我们需要计算系数矩阵的行列式，并令其等于零，以求解λ的值。

步骤 2：写出系数矩阵
系数矩阵为：
\[
\begin{pmatrix}
1-\lambda & -2 & 4 \\
2 & 3-\lambda & 1 \\
1 & 1 & 1-\lambda
\end{pmatrix}
\]

步骤 3：计算行列式
计算行列式：
\[
\begin{vmatrix}
1-\lambda & -2 & 4 \\
2 & 3-\lambda & 1 \\
1 & 1 & 1-\lambda
\end{vmatrix}
\]
使用行列式的展开公式，我们得到：
\[
(1-\lambda)\begin{vmatrix}
3-\lambda & 1 \\
1 & 1-\lambda
\end{vmatrix}
- (-2)\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1-\lambda
\end{vmatrix}
+ 4\begin{vmatrix}
2 & 3-\lambda \\
1 & 1
\end{vmatrix}
\]
\[
= (1-\lambda)((3-\lambda)(1-\lambda)-1) + 2(2(1-\lambda)-1) + 4(2-3+\lambda)
\]
\[
= (1-\lambda)(3-4\lambda+\lambda^2-1) + 2(2-2\lambda-1) + 4(-1+\lambda)
\]
\[
= (1-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+2) + 2(1-2\lambda) + 4(\lambda-1)
\]
\[
= (1-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+2) + 2 - 4\lambda + 4\lambda - 4
\]
\[
= (1-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+2) - 2
\]
\[
= \lambda^2-4\lambda+2 - \lambda^3 + 4\lambda^2 - 2\lambda - 2
\]
\[
= -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 6\lambda
\]
\[
= -\lambda(\lambda^2 - 5\lambda + 6)
\]
\[
= -\lambda(\lambda-2)(\lambda-3)
\]
令行列式等于零，我们得到：
\[
-\lambda(\lambda-2)(\lambda-3) = 0
\]
因此，λ的值为0，2，3。