7-10 一半径为r的半球面均匀带电,电荷面密度为σ,求球心处的电场强度.

考查要点：本题主要考查带电曲面在球心处电场强度的计算，需结合对称性分析和微元积分法。

解题核心思路：

1. 对称性简化：半球面对称轴（如z轴）方向的场强分量叠加，而其他方向分量相互抵消，只需计算轴向分量。
2. 微元积分：将半球面分割为无数面元，计算每个面元在球心产生的场强的轴向分量，再积分求和。

破题关键点：

• 明确场强方向仅沿对称轴（z轴）存在。
• 正确表达面元的场强大小及轴向分量，利用球坐标系面积元素进行积分。

步骤1：建立坐标系与对称性分析

设半球面的对称轴为z轴，球心位于原点。由于对称性，所有面元在球心处的场强的x、y分量相互抵消，仅z分量叠加。

步骤2：计算单一面元的场强分量

取半球面上一个面元，其电荷为 $dq = \sigma dS$，在球心产生的场强大小为：
$dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{dq}{r^2} = \frac{\sigma dS}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$
场强方向沿径向，其z分量为：
$dE_z = dE \cdot \cos\theta = \frac{\sigma dS \cos\theta}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$

步骤3：积分求总场强

半球面的面积元素 $dS = r^2 \sin\theta d\theta d\varphi$，代入积分：
$E_z = \int dE_z = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \int_{\text{半球面}} r^2 \sin\theta \cos\theta d\theta d\varphi$
积分范围：$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，$\varphi \in [0, 2\pi]$。
计算得：
$E_z = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \cos\theta d\theta = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sigma}{4\varepsilon_0}$