题目
设总体X服从正态分布(mu ,(sigma )^2)，(mu ,(sigma )^2)是来自该总体的样本，(mu ,(sigma )^2)，试问：(mu ,(sigma )^2)的分布是什么？并给出证明.
设总体X服从正态分布
，
是来自该总体的样本，
，试问：
的分布是什么？并给出证明.
题目解答
答案
总体X服从正态分布，来自总体的样本相互独立且都服从总体X的分布，则
，则
，则
，
，则
，则
.
解析
步骤 1：确定${X}_{n+1}$的分布
由于${X}_{n+1}$是从总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$中抽取的样本，因此${X}_{n+1}\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$。
步骤 2：确定$\dfrac {{({X}_{n+1}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}$的分布
由于${X}_{n+1}\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，则$\dfrac {{X}_{n+1}-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$，因此${(\dfrac {{X}_{n+1}-\mu }{\sigma })}^{2}\sim {\chi }^{2}(1)$，即$\dfrac {{({X}_{n+1}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {\chi }^{2}(1)$。
步骤 3：确定$\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$的分布
由于${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$是从总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$中抽取的样本，因此$\sum _{i=1}^{n}{(\dfrac {{X}_{i}-\overline {X}}{\sigma })}^{2}\sim {\chi }^{2}(n-1)$，即$\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\sim {\chi }^{2}(n-1)$。
步骤 4：确定$\dfrac {{({X}_{n+1}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}+\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$的分布
由于$\dfrac {{({X}_{n+1}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {\chi }^{2}(1)$，$\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\sim {\chi }^{2}(n-1)$，且${X}_{n+1}$与${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$相互独立，因此$\dfrac {{({X}_{n+1}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}+\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\sim {\chi }^{2}(n)$。
由于${X}_{n+1}$是从总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$中抽取的样本，因此${X}_{n+1}\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$。
步骤 2：确定$\dfrac {{({X}_{n+1}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}$的分布
由于${X}_{n+1}\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，则$\dfrac {{X}_{n+1}-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$，因此${(\dfrac {{X}_{n+1}-\mu }{\sigma })}^{2}\sim {\chi }^{2}(1)$，即$\dfrac {{({X}_{n+1}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {\chi }^{2}(1)$。
步骤 3：确定$\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$的分布
由于${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$是从总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$中抽取的样本，因此$\sum _{i=1}^{n}{(\dfrac {{X}_{i}-\overline {X}}{\sigma })}^{2}\sim {\chi }^{2}(n-1)$，即$\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\sim {\chi }^{2}(n-1)$。
步骤 4：确定$\dfrac {{({X}_{n+1}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}+\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$的分布
由于$\dfrac {{({X}_{n+1}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {\chi }^{2}(1)$，$\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\sim {\chi }^{2}(n-1)$，且${X}_{n+1}$与${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$相互独立，因此$\dfrac {{({X}_{n+1}-\mu )}^{2}}{{\sigma }^{2}}+\dfrac {1}{{\sigma }^{2}}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\sim {\chi }^{2}(n)$。