一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50千克，标准差为5千克．若用最大载重为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977(φ(2)=0.977，其中φ(x)是标准正态分布函数．)

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及如何利用正态分布解决实际问题中的概率问题。

解题核心思路：

1. 确定总重量的分布：根据中心极限定理，多个独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
2. 标准化处理：将总重量不超过5吨的条件转化为标准正态分布的概率表达式。
3. 解方程求最大箱数：利用已知的正态分布函数值φ(2)=0.977，建立方程并求解。

破题关键点：

• 正确计算总重量的期望和方差：总重量的期望为$E(T_n)=50n$，方差为$D(T_n)=25n$。
• 理解φ(2)=0.977的含义：对应的标准正态分布临界值为2，即$(T_n - 50n)/(5\sqrt{n}) \leq 2$。

设每箱重量为$X_i$（$i=1,2,\dots,n$），总重量为$T_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n$。根据题意：

• 期望：$E(X_i) = 50$千克，总期望$E(T_n) = 50n$千克。
• 方差：$D(X_i) = 5^2 = 25$，总方差$D(T_n) = 25n$，标准差为$5\sqrt{n}$。

应用中心极限定理：
当$n$较大时，$T_n$近似服从正态分布$N(50n, 25n)$。要求不超载的概率$P(T_n \leq 5000) > 0.977$，即：
$P\left(\frac{T_n - 50n}{5\sqrt{n}} \leq \frac{5000 - 50n}{5\sqrt{n}}\right) > 0.977$

标准化处理：
由$\phi(2) = 0.977$，可知$\frac{5000 - 50n}{5\sqrt{n}} = 2$，解得：
$5000 - 50n = 10\sqrt{n} \quad \Rightarrow \quad 5n + \sqrt{n} = 500$

解方程：
设$\sqrt{n} = x$，则方程变为：
$5x^2 + x - 500 = 0$
解得：
$x = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4 \cdot 5 \cdot 500}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + \sqrt{10001}}{10} \approx 9.9005$
因此，$\sqrt{n} \approx 9.9005$，得$n \approx 98.0199$。取整数部分，最多可装98箱。