下列结论正确的是( )A. 如果函数 f(z) 在 z_0 点可导，则 f(z) 在 z_0 点一定解析；B. 如果 f(z) 在 C 所围成的闭区域内解析，则 oint_(C) f(z) , mathrm(d)z = 0；C. 如果 oint_(C) f(z) , mathrm(d)z = 0，则函数 f(z) 在 C 所围成的区域内一定解析；D. 函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 在区域内解析的充分必要条件是 u(x, y)、v(x, y) 在该区域内均为调和函数.

本题主要考查复变函数中可导、解析的概念以及柯西 - 古萨基本定理和函数解析的充分必要条件等知识点。下面对每个选项逐一进行分析：

• 选项A：
  • 函数在某点可导和在某点解析是不同的概念。函数$f(z)$在$z_0$点可导，仅表示$f(z)$在$z_0$这一个点满足导数的定义；而函数$f(z)$在$z_0$点解析，要求$f(z)$在$z_0$的某一个邻域内处处可导。
  • 例如函数$f(z)=\vert z\vert^2=x^2 + y^2$，根据导数定义$f^\prime(z)=\lim\limits_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$，在$z = 0$处，$f^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta z \to 0}\frac{\vert\Delta z\vert^2 - 0}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta z\overline{\Delta z}}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta z \to 0}\overline{\Delta z}=0$，即$f(z)$在$z = 0$处可导。
  • 但对于$z\neq0$，$f^\prime(z)=\lim\limits_{\Delta z \to 0}\frac{(x + \Delta x)^2+(y+\Delta y)^2-(x^2 + y^2)}{\Delta x + i\Delta y}=\lim\limits_{\Delta z \to 0}\frac{2x\Delta x + 2y\Delta y+\Delta x^2+\Delta y^2}{\Delta x + i\Delta y}$，当$\Delta z$沿不同路径趋于$0$时，极限值不同，所以$f(z)$在$z\neq0$处不可导，也就不存在$z = 0$的某邻域内处处可导，即$f(z)$在$z = 0$处不解析。所以选项A错误。
• 选项B：
  • 柯西 - 古萨基本定理指出：如果函数$f(z)$在单连通区域$D$内解析，$C$为$D$内的任意一条简单闭曲线，则$\oint_{C} f(z) \, \mathrm{d}z = 0$。
  • 当$f(z)$在$C$所围成的闭区域内解析时，那么$f(z)$在$C$所围成的开区域内解析，且闭区域是单连通的（因为闭区域是由简单闭曲线$C$围成），满足柯西 - 古萨基本定理的条件，所以$\oint_{C} f(z) \, \mathrm{d}z = 0$。选项B正确。
• 选项C：
  • 虽然$\oint_{C} f(z) \, \mathrm{d}z = 0$，但不能得出函数$f(z)$在$C$所围成的区域内一定解析。
  • 例如函数$f(z)=\frac{1}{z^2}$，取$C$为单位圆$\vert z\vert = 1$，利用参数方程$z = e^{i\theta}$，$\mathrm{d}z = ie^{i\theta}\mathrm{d}\theta$，$\theta$从$0$到$2\pi$，则$\oint_{C} f(z) \, \mathrm{d}z=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(e^{i\theta})^2}\cdot ie^{i\theta}\mathrm{d}\theta=\int_{0}^{2\pi}ie^{-i\theta}\mathrm{d}\theta=\left[-e^{-i\theta}\right]_0^{2\pi}=-1 + 1 = 0$。
  • 但是$f(z)=\frac{1}{z^2}$在$z = 0$处不解析，因为$z = 0$是$f(z)$的奇点，所以$f(z)$在单位圆$\vert z\vert = 1$所围成的区域内不解析。选项C错误。
• 选项D：
  • 函数$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$在区域内解析的充分必要条件是$u(x, y)$、$v(x, y)$在该区域内满足柯西 - 黎曼方程$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$，并且$u(x, y)$、$v(x, y)$在该区域内具有一阶连续偏导数。
  • 而$u(x, y)$、$v(x, y)$在该区域内均为调和函数（即$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$，$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0$）并不是$f(z)$解析的充分必要条件。例如$u(x,y)=x^2 - y^2$，$v(x,y)=2xy$，$u$和$v$都是调和函数，但$f(z)=u + iv=(x^2 - y^2)+i(2xy)=(x + iy)^2=z^2$，虽然它是解析的，但不能说明一般情况下调和函数就对应解析函数。选项D错误。