题目

13.曲线y=x^2+(3)/(x)在点(1,4)处的法线方程为____

13.曲线$y=x^{2}+\frac{3}{x}$在点(1,4)处的法线方程为____

题目解答

答案

首先，求导数 $ y' = 2x - \frac{3}{x^2} $。 在点 $ (1,4) $ 处，切线斜率 $ k_{\text{切}} = y'(1) = 2 - 3 = -1 $。 法线斜率 $ k_{\text{法}} $ 为切线斜率的负倒数，即 $ k_{\text{法}} = 1 $。 使用点斜式方程 $ y - y_1 = k(x - x_1) $，代入点 $ (1,4) $ 和斜率 $ k_{\text{法}} = 1 $，得： \[ y - 4 = 1(x - 1) \implies y = x + 3 \implies x - y + 3 = 0 \] **答案：** $\boxed{x - y + 3 = 0}$（或$\boxed{y = x + 3}$）

解析

本题考查曲线在某点处的法线方程的求解，解题思路如下：

  1. 首先，根据求导公式求出曲线$y = x^{2}+\frac{3}{x}$的导数$y'$。
    • 对于$y = x^{2}+\frac{3}{x}=x^{2}+3x^{-1}$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$y$求导：
      • 对于$x^{2}$求导，$(x^{2})^\prime=2x^{2 - 1}=2x$；
      • 对于$3x^{-1}$求导，$(3x^{-1})^\prime=3\times(-1)x^{-1 - 1}=-3x^{-2}=-\frac{3}{x^{2}}$。
      • 所以$y^\prime = 2x-\frac{3}{x^{2}}$。
  2. 然后，将点$(1,4)$的横坐标$x = 1$代入导数$y'$中，求出曲线在该点处的切线斜率$k_{切}$。
    • 把$x = 1$代入$y^\prime = 2x-\frac{3}{x^{2}}$，可得$k_{切}=y^\prime(1)=2\times1-\frac{3}{1^{2}}=2 - 3=-1$。
  3. 接着，根据切线斜率与法线斜率的关系求出法线斜率$k_{法}$。
    • 因为曲线在某点处的切线斜率$k_{切}$与法线斜率$k_{法}$的乘积为$-1$，即$k_{切}\cdot k_{法}=-1$，已知$k_{切}=-1$，则$k_{法}=\frac{-1}{k_{切}}=\frac{-1}{-1}=1$。
  4. 最后，利用点斜式方程$y - y_1 = k(x - x_1)$（其中$(x_1,y_1)$为已知点，$k$为斜率）求出法线方程。
    • 已知点$(1,4)$，斜率$k_{法}=1$，代入点斜式方程可得$y - 4 = 1\times(x - 1)$。
    • 化简方程：
      • $y - 4=x - 1$，移项可得$x - y+3 = 0$，也可写成$y = x + 3$。