题目

【例4】(2012,数二)过点(0,1)作曲线L:y=lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B 点,区域D由L与直线AB围成.求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

题目解答

答案

1. **求切点 $ A $：** 设切点 $ A(x_1, y_1) $，则 $ y_1 = \ln x_1 $。切线斜率 $ k = \frac{1}{x_1} $，过点 $ (0,1) $，解得 $ x_1 = e^2 $，$ y_1 = 2 $。 **切点 $ A(e^2, 2) $。** 2. **求直线 $ AB $：** 点 $ B(1,0) $，斜率 $ k = \frac{2}{e^2-1} $，方程为 $ y = \frac{2}{e^2-1}(x-1) $。 3. **求面积 $ S $：** $ S = \int_1^{e^2} \ln x \, dx - \int_1^{e^2} \frac{2}{e^2-1}(x-1) \, dx = 2 $。 4. **求体积 $ V $：** $ V = \pi \int_1^{e^2} (\ln x)^2 \, dx - \pi \int_1^{e^2} \left[ \frac{2}{e^2-1}(x-1) \right]^2 \, dx = \frac{2\pi(e^2-1)}{3} $。 **答案：** 面积：$\boxed{2}$ 体积：$\boxed{\frac{2\pi(e^2-1)}{3}}$

解析

一、求切点$A$

曲线$L:y=\ln x$的导数为$y'=\frac{1}{x}$，设切点$A(x_1,y_1)$，则切线斜率$k=\frac{1}{x_1}$。切线过点$(0,1)$和$A(x_1,\ln x_1)$，由点斜式得切线方程：
$y - \ln x_1 = \frac{1}{x_1}(x - x_1)$
代入$(0,1)$：$1 - \ln x_1 = -1$，解得$\ln x_1=2$，即$x_1=e^2$，$y_1=2$。故$A(e^2,2)$。

二、求直线$AB$

曲线$L$与$x$轴交于$B(1,0)$（令$\ln x=0$得$x=1$）。直线$AB$过$B(1,0)$和$A(e^2,2)$，斜率$k=\frac{2 - 0}{e^2 - 1}=\frac{2}{e^2 - 1}$，方程为：
$y=\frac{2}{e^2 - 1}(x - 1)$

三、求区域$D$的面积$S$

区域$D$由$y=\ln x$和$y=\frac{2}{e^2 - 1}(x - 1)$从$x=1$到$x=e^2$围成，面积为两曲线差的积分：
$S=\int_1^{e^2} \left[\ln x - \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1)\right]dx$

计算积分：

$\int \ln x dx = x\ln x - x + C$，故$\int_1^{e^2} \ln x dx = (e^2 \cdot 2 - e^2) - (1 \cdot 0 - 1) = e^2 + 1$。
$\int \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1)dx = \frac{1}{e^2 - 1}(x - 1)^2 + C$，故$\int_1^{e^2} \frac{2}{e^2 - 1}(x - 1)dx = \frac{1}{e^2 - 1}(e^2 - 1)^2 = e^2 - 1$。

面积结果：

$S=(e^2 + 1) - (e^2 - 1)=2$

四、求旋转体体积$V$

$D$绕$x$轴旋转的体积为两曲线旋转体积之差（$\pi\int [上曲线^2 - 下曲线^2]dx$）：
$V=\pi\left[\int_1^{e^2} (\ln x)^2 dx - \int_1^{e^2} \left(\frac{2}{e^2 - 1}(x - 1)\right)^2 dx\right]$

计算积分：

$\int (\ln x)^2 dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$，故$\int_1^{e^2} (\ln x)^2 dx = (e^2 \cdot 4 - 4e^2 + 2e^2) - (0 - 0 + 2) = 2e^2 - 2$。
$\int \left(\frac{2}{e^2 - 1}(x - 1)\right)^2 dx = \frac{4}{3(e^2 - 1)^2}(x - 1)^3 + C$，故$\int_1^{e^2} \cdots dx = \frac{4}{3(e^2 - 1)^2}(e^2 - 1)^3 = \frac{4}{3}(e^2 - 1)$。

体积结果：

$V=\pi\left[(2e^2 - 2) - \frac{4}{3}(e^2 - 1)\right]=\pi\left[\frac{2}{3}(e^2 - 1)\right]=\frac{2\pi(e^2 - 1)}{3}$