题目
设随机变量独立,且,则仍服从正态分布,且有( )A. B. ; C. ; D. .
设随机变量
独立,且
,则
仍服从正态分布,且有( )
B.
;C.
;D.
.题目解答
答案
D. $Z\sim N({M}_{1}-{M}_{2},{{\sigma }_{1}}^{2}+{{\sigma }_{2}}^{2})$
解析
步骤 1：理解正态分布的性质
正态分布的性质之一是，如果两个独立的正态随机变量相加或相减，结果仍然是一个正态随机变量。具体来说，如果$X\sim N({M}_{1},{{\sigma }_{1}}^{2})$和$Y\sim N({M}_{2},{{\sigma }_{2}}^{2})$是两个独立的正态随机变量，那么$Z=X-Y$也是一个正态随机变量。
步骤 2：计算均值
对于$Z=X-Y$，其均值$M_Z$等于$X$的均值减去$Y$的均值，即$M_Z = M_1 - M_2$。
步骤 3：计算方差
对于$Z=X-Y$，其方差${{\sigma }_{Z}}^{2}$等于$X$的方差加上$Y$的方差，即${{\sigma }_{Z}}^{2} = {{\sigma }_{1}}^{2} + {{\sigma }_{2}}^{2}$。这是因为$X$和$Y$是独立的，所以它们的协方差为0，从而方差相加。
正态分布的性质之一是，如果两个独立的正态随机变量相加或相减，结果仍然是一个正态随机变量。具体来说，如果$X\sim N({M}_{1},{{\sigma }_{1}}^{2})$和$Y\sim N({M}_{2},{{\sigma }_{2}}^{2})$是两个独立的正态随机变量，那么$Z=X-Y$也是一个正态随机变量。
步骤 2：计算均值
对于$Z=X-Y$，其均值$M_Z$等于$X$的均值减去$Y$的均值，即$M_Z = M_1 - M_2$。
步骤 3：计算方差
对于$Z=X-Y$，其方差${{\sigma }_{Z}}^{2}$等于$X$的方差加上$Y$的方差，即${{\sigma }_{Z}}^{2} = {{\sigma }_{1}}^{2} + {{\sigma }_{2}}^{2}$。这是因为$X$和$Y$是独立的，所以它们的协方差为0，从而方差相加。