题目

20 设B，C及A_(i):(i=1,2,...,n)是具有正概率的事件，且A_(i)A_(j)=varnothing,ineq j(i,j=1,2,...,n),bigcup_(i=1)^nA_(i)=S.若P(A_(i)),P(B|A_(i))及P(C|BA_(i)),(i=1,2,...,n)已知，求P(C|B).

20 设B，C及$A_{i}:(i=1,2,\cdots,n)$是具有正概率的事件，且$A_{i}A_{j}=\varnothing,i\neq j(i,j=1,2,\cdots,n),\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=S.$若$P(A_{i}),P(B|A_{i})$及$P(C|BA_{i}),(i=1,2,\cdots,n)$已知，求$P(C|B).$

题目解答

答案

根据题意，事件 $ A_i $（$ i=1,2,\cdots,n $）互斥且覆盖全样本空间，即 $ \bigcup_{i=1}^n A_i = S $。已知 $ P(A_i) $，$ P(B|A_i) $，$ P(C|BA_i) $，求 $ P(C|B) $。
由条件概率公式：
$P(C|B) = \frac{P(CB)}{P(B)}$
其中，
$P(B) = \sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)$
$P(CB) = \sum_{i=1}^n P(C|BA_i)P(BA_i) = \sum_{i=1}^n P(C|BA_i)P(B|A_i)P(A_i)$
将 $ P(CB) $ 和 $ P(B) $ 代入得：
$P(C|B) = \frac{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)P(C|BA_i)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}$
答案：
$\boxed{\frac{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)P(C|BA_i)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}}$

解析

考查要点：本题主要考查条件概率的全概率公式及其应用，需要学生理解如何在互斥且完备的事件划分下，分解复杂事件的概率。

解题核心思路：

  1. 条件概率公式：利用$P(C|B) = \frac{P(CB)}{P(B)}$，将问题转化为计算$P(CB)$和$P(B)$。
  2. 全概率公式：由于事件$A_i$互斥且覆盖全样本空间，可将$P(B)$和$P(CB)$分解为各$A_i$下的条件概率之和。
  3. 分步计算：分别计算分子和分母的表达式，最终整合得到结果。

破题关键点：

  • 分解事件：将$B$和$CB$分解为各$A_i$下的情况，利用互斥性和完备性简化计算。
  • 链式法则：正确应用条件概率的链式法则，将$P(CB \cap A_i)$拆解为$P(C|BA_i)P(B|A_i)P(A_i)$。

步骤1：计算$P(B)$
根据全概率公式，事件$B$的概率为：
$P(B) = \sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)$

步骤2：计算$P(CB)$
事件$CB$的概率可分解为各$A_i$下的条件概率之和：
$P(CB) = \sum_{i=1}^n P(CB \cap A_i) = \sum_{i=1}^n P(C|BA_i)P(BA_i)$
进一步利用链式法则：
$P(BA_i) = P(B|A_i)P(A_i)$
因此：
$P(CB) = \sum_{i=1}^n P(C|BA_i)P(B|A_i)P(A_i)$

步骤3：代入条件概率公式
将$P(CB)$和$P(B)$代入$P(C|B)$的定义式：
$P(C|B) = \frac{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)P(C|BA_i)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}$