题目

设随机 变量 X， Y 相互独立且X~N(0 , 2)，Y~N ( 1 , 4 )则下列各式成立的是 A .(X+Yleqslant 0)=dfrac (1)(2)B .(X+Yleqslant 0)=dfrac (1)(2)C (X+Yleqslant 0)=dfrac (1)(2)D . (X+Yleqslant 0)=dfrac (1)(2)

设随机 变量 X， Y 相互独立且X~N(0 , 2)，Y~N ( 1 , 4 )则下列各式成立的是 

A .

B .

C 

D . 

题目解答

答案

∵随机 变量 X， Y 相互独立且X~N(0 , 2)，Y~N ( 1 , 4 )

∴X+Y~N(1,6)，X-Y~(-1,6)

∵正态分布图像关于对称

∴X+Y关于x=1对称

∴

∴选C

解析

考查要点：本题主要考查独立正态随机变量的线性组合的分布性质，以及正态分布的对称性特点。

解题核心思路：

  1. 确定线性组合的分布：根据独立正态变量的性质，若$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$，$Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$，则$X+Y \sim N(\mu_X+\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$，$X-Y \sim N(\mu_X-\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$。
  2. 利用对称性判断概率：正态分布关于其均值对称，因此对于线性组合的正态变量$Z \sim N(\mu, \sigma^2)$，有$P(Z \leq \mu) = \dfrac{1}{2}$。

破题关键点：

  • 正确计算线性组合的均值和方差。
  • 识别选项中是否满足“概率为$\dfrac{1}{2}$的临界值恰好是分布的均值”。

步骤1：计算$X+Y$和$X-Y$的分布

  • $X+Y$的分布：

    • 均值：$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y = 0 + 1 = 1$
    • 方差：$\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 2 + 4 = 6$
    • 因此，$X+Y \sim N(1, 6)$

  • $X-Y$的分布：

    • 均值：$\mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y = 0 - 1 = -1$
    • 方差：$\sigma_{X-Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 2 + 4 = 6$
    • 因此，$X-Y \sim N(-1, 6)$

步骤2：分析各选项

  • 选项A：$P(X+Y \leq 0) = \dfrac{1}{2}$
    $X+Y$的均值为$1$，而$0 < 1$，因此概率小于$\dfrac{1}{2}$，错误。

  • 选项B：$P(X-Y \leq 0) = \dfrac{1}{2}$
    $X-Y$的均值为$-1$，而$0 > -1$，因此概率大于$\dfrac{1}{2}$，错误。

  • 选项C：$P(X+Y \leq 1) = \dfrac{1}{2}$
    $X+Y$的均值为$1$，正态分布关于均值对称，因此概率等于$\dfrac{1}{2}$，正确。

  • 选项D：$P(X-Y \leq 1) = \dfrac{1}{2}$
    $X-Y$的均值为$-1$，而$1 > -1$，因此概率远大于$\dfrac{1}{2}$，错误。