设 C 为正向圆周 |z|=2，则 oint_(C) [sin z + (e^z)/(z(z-3))] , dz = [ ]A. (2pi i)/(3)B. -(2pi i)/(3)C. e^3D. 1

我们来一步一步求解这个复变函数的积分：

题目给出：

设 $ C $ 为正向圆周 $ |z| = 2 $，计算
$\oint_{C} \left[\sin z + \frac{e^z}{z(z-3)}\right] \, dz$

第一步：分析积分路径

路径 $ C $ 是正向（逆时针）的圆周 $ |z| = 2 $，即以原点为中心，半径为 2 的圆。

我们关心的是被积函数在该闭合路径内部是否有奇点。

第二步：将积分拆开

由于积分是线性的，我们可以拆成两个部分：

$\oint_{C} \left[\sin z + \frac{e^z}{z(z-3)}\right] dz = \oint_C \sin z \, dz + \oint_C \frac{e^z}{z(z-3)} \, dz$

我们分别计算这两个积分。

第三部分：计算 $ \oint_C \sin z \, dz $

函数 $ \sin z $ 是整函数（在整个复平面上解析），因此它在闭合曲线 $ C $ 内部解析。

根据柯西积分定理：若函数在闭合曲线及其内部解析，则沿该曲线的积分为 0。

所以：
$\oint_C \sin z \, dz = 0$

第四部分：计算 $ \oint_C \frac{e^z}{z(z-3)} \, dz $

我们分析函数：
$f(z) = \frac{e^z}{z(z-3)}$

它的奇点出现在分母为零的地方：$ z = 0 $ 和 $ z = 3 $

现在看这两个奇点是否在 $ C $（即 $ |z| = 2 $）的内部：

• $ |z=0| = 0 < 2 $：在内部 ✅
• $ |z=3| = 3 > 2 $：在外部 ❌

因此，在 $ C $ 内部只有一个奇点：$ z = 0 $

我们可以使用留数定理来计算这个积分。

留数定理告诉我们：
$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \sum \text{Res}(f, z_k)$
其中求和是对 $ C $ 内部的所有奇点的留数。

这里只需求 $ z=0 $ 处的留数。

第五部分：求 $ \text{Res}_{z=0} \left( \frac{e^z}{z(z-3)} \right) $

函数在 $ z=0 $ 处有一个一阶极点（因为分母是 $ z \cdot (z-3) $，在 $ z=0 $ 处 $ z $ 是一次因子，而 $ z-3 \ne 0 $）

对于一阶极点，留数公式为：
$\text{Res}_{z=0} f(z) = \lim_{z \to 0} (z - 0) \cdot \frac{e^z}{z(z-3)} = \lim_{z \to 0} \frac{e^z}{z-3}$

计算极限：
$\frac{e^0}{0 - 3} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$

所以留数为 $ -\frac{1}{3} $

第六部分：应用留数定理

$\oint_C \frac{e^z}{z(z-3)} \, dz = 2\pi i \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{2\pi i}{3}$

第七部分：合并两个积分

$\oint_C \left[\sin z + \frac{e^z}{z(z-3)}\right] dz = 0 + \left( -\frac{2\pi i}{3} \right) = -\frac{2\pi i}{3}$

最终答案：

$\boxed{B. \ -\frac{2\pi i}{3}}$