题目
4.设随机变量X的分布函数为-|||-则X为 () 随机变量。-|||-(A)离散型-|||-(C)既非离散型又非连续型-|||-F(x)= ) 0 x-0.8(e)^-0.8x,xgeqslant 0 .-|||-(B)连续型-|||-(D)既是离散型又是连续型
题目解答
答案
解析
本题考查随机变量类型的判断，解题思路是根据随机变量分布函数的性质来判断随机变量是离散型还是连续型。若随机变量的分布函数 $F(x)$ 是连续函数，则该随机变量为连续型随机变量；若分布函数 $F(x)$ 是阶梯函数，则该随机变量为离散型随机变量。
已知随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\begin{cases}0, & x\lt 0 \\ 1 - 0.8e^{-0.8x}, & x\geq 0\end{cases}$。
- 首先判断 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性：
- 计算 $x$ 从左侧趋近于 $0$ 时 $F(x)$ 的极限，即 $\lim\limits_{x \to 0^{-}}F(x)$。
因为当 $x\lt 0$ 时，$F(x)=0$，所以 $\lim\limits_{x \to 0^{-}}F(x)=\lim\limits_{x \to 0^{-}}0 = 0$。 - 计算 $x$ 从右侧趋近于 $0$ 时 $F(x)$ 的极限，即 $\lim\limits_{x \to 0^{+}}F(x)$。
当 $x\geq 0$ 时，$F(x)=1 - 0.8e^{-0.8x}$，则 $\lim\limits_{x \to 0^{+}}F(x)=\lim\limits_{x \to 0^{+}}(1 - 0.8e^{-0.8x})$。
根据极限的四则运算法则，$\lim\limits_{x \to 0^{+}}(1 - 0.8e^{-0.8x})=\lim\limits_{x \to 0^{+}}1 - 0.8\lim\limits_{x \to 0^{+}}e^{-0.8x}$。
因为 $\lim\limits_{x \to 0^{+}}1 = 1$，$\lim\limits_{x \to 0^{+}}e^{-0.8x}=e^0 = 1$，所以 $\lim\limits_{x \to 0^{+}}F(x)=1 - 0.8\times1 = 0.2$。 - 计算 $F(0)$ 的值，当 $x = 0$ 时，$F(0)=1 - 0.8e^{-0.8\times0}=1 - 0.8\times1 = 0.2$。
由于 $\lim\limits_{x \to 0^{-}}F(x)=0\neq\lim\limits_{x \to 0^{+}}F(x)=F(0)=0.2$，所以 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处不连续。
- 计算 $x$ 从左侧趋近于 $0$ 时 $F(x)$ 的极限，即 $\lim\limits_{x \to 0^{-}}F(x)$。
- 然后求 $F(x)$ 的导数 $f(x)=F^\prime(x)$：
- 当 $x\lt 0$ 时，$F(x)=0$，对其求导得 $F^\prime(x)=(0)^\prime = 0$。
- 当 $x\gt 0$ 时，$F(x)=1 - 0.8e^{-0.8x}$，根据求导公式 $(e^{ax})^\prime = ae^{ax}$ 以及常数的导数为 $0$，对 $F(x)$ 求导得 $F^\prime(x)=(1 - 0.8e^{-0.8x})^\prime=(1)^\prime - 0.8(e^{-0.8x})^\prime=0 - 0.8\times(-0.8)e^{-0.8x}=0.64e^{-0.8x}$。
- 因为 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处不可导，所以 $F(x)$ 的导数 $f(x)=\begin{cases}0, & x\lt 0 \\ 0.64e^{-0.8x}, & x\gt 0\end{cases}$。
由于 $f(x)$ 满足概率密度函数的性质（非负性和在整个定义域上的积分值为 $1$），所以 $X$ 是连续型随机变量。