1lim_(ntoinfty)(sqrt(1+2+3+...+n))/(n+2)=( )A. (1)/(2)B. (sqrt(2))/(2)C. 0D. ∞

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，涉及等差数列求和公式及无穷大极限的化简技巧。

解题核心思路：

1. 分子部分为等差数列前$n$项和的平方根，需先利用公式化简；
2. 分母部分为$n+2$，当$n \to \infty$时，可近似为$n$；
3. 通过提取最高次项的方法，将分子和分母中的低阶项忽略，最终化简求极限。

破题关键点：

• 等差数列求和公式：$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$；
• 无穷大极限化简：保留分子和分母中的最高次项，忽略低阶项。

步骤1：化简分子
根据等差数列求和公式，分子部分为：
$\sqrt{1+2+\cdots+n} = \sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}.$

步骤2：展开分子和分母
将分子和分母中的项展开：
$\frac{\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}}{n+2} = \frac{\sqrt{n^2 + n}}{\sqrt{2} \cdot (n + 2)}.$

步骤3：提取最高次项
分子中的$\sqrt{n^2 + n}$可提取$n$：
$\sqrt{n^2 + n} = n \sqrt{1 + \frac{1}{n}}.$
分母中的$n + 2$可提取$n$：
$n + 2 = n \left(1 + \frac{2}{n}\right).$

步骤4：约简并取极限
代入化简后的表达式：
$\frac{n \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{\sqrt{2} \cdot n \left(1 + \frac{2}{n}\right)} = \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{\sqrt{2} \left(1 + \frac{2}{n}\right)}.$
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + 0}}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$