题目

8.设X,Y相互独立,均服从正态分布N(0,6),X1,X2,···,,66与Y1,Y2,···,Y6是分别来自总体-|||-X,Y的样本,则X1+X2+···+X6服从 ()-|||-2-|||-A. f(6) B.t(5) C.t(6) D.F(1,6)

题目解答

答案

C. t(6)

解析

本题考查考查正态分布的性质以及$t$分布的定义。解题的关键在于先根据根据正态分布的性质求出$\sum_{i = = 1}^{6}X_{i}$的分布，再结合$t$分布的定义来确定其服从的分布。

  1. 求$\sum_{i = 1}^{6}X_{i}$的分布：
    已知$X_{i}$服从正态分布$N(0,6)$，且$X_{1},X_{2},\cdots,X_{6}$相互独立。
    根据正态分布的性质：若$X_{i}\sim N(\mu_{i},\sigma_{i}^{2})$，$(i = 1,2,\cdots,n)$相互独立，则$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\sim N(\sum_{i = 1}^{n}\mu_{i},\sum_{i = 1}^{n}\sigma_{i}^{2})$。
    对于本题，$\mu = 0$，$\sigma^{2}=6$，$n = 6$，那么$\sum_{i = 1}^{6}X_{i}$服从正态分布，其均值为$\sum_{i = 1}^{6}E(X_{i})=6\times0 = 0$，方差为$\sum_{i = 1}^{6}D(X_{i})=6\times6 = 36$，即$\sum_{i = 1}^{6}X_{i}\sim N(0,36)$。
  2. 对$\sum_{i = 1}^{6}X_{i}$进行标准化：
    设$Z=\sum_{i = 1}^{6}X_{_{i}-0)/\sqrt{36}=\frac{16\sum_{i = 1}^{6}X_{i}$，根据正态分布的标准化公式$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$（其中$X$服从$N(\mu,\sigma^{2})$），可知$Z\sim N(0,1)$。
  3. 求$Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots+Y_{6}^{2}$的分布：
    已知$Y\sim N(0,6)$，则$\frac{Y - 0}{\sigma}=\frac{Y}{\sqrt{6}}\sim N(0,1)$。
    因为$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{6}}$相互独立且都服从$N(0,6)$，所以$\frac{Y_{i}}{\sqrt{6}\sim N(0,1)$，$i = 1,2,\cdots,6$。
    根据$\chi^{2$分布的定义：若$Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{n}$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$分布，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_{i}^{2}\sim\chi^{2(n)$，可得$\sum_{i = 1}^{6}(\frac{Y_{i}}{\sqrt{6}})^{2}=\frac{16\sum_{i = 1}^{6}Y_{i}^{2}\sim\chi^{2}(6)$。
  4. 根据$t$分布的定义确定分布：
    $t$分布的定义为：设$X\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^{2}(n)$，且$X$与$Y$相互独立，则$T=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$。
    令$X = Z=\frac{1}{6}\sum_{i = 1}^{6}X_{i}\sim N(0,1)$，$Y=\frac{1}{6}\sum_{i = 1}^{6}Y_{i}^{2}\sim\chi^{2}(6)$，且$X$与$Y$相互独立（因为$X_{i}$与$Y_{j}$相互独立）。
    则$\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{6}}}=\frac{\frac{1}{6}\sum_{i = 1}^{6}X_{i}}{\sqrt{\frac{\frac{1}{6}\sum_{i = 1}^{6}Y_{i}^{2}}{6}}}=\frac{\sum_{i = 1}^{6}X_{i}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{6}Y_{i}^{2}}}\sim t(6)$。