题目
某公司有在职工3000人，按随机重复抽样方式从中抽60人，调查其工资收入情况。调查结果表明，若60名职工月平均工资为2350元，标准差为193元。请以90%的置信水平推断该公司职工月平均工资的范围。样本均值为underline(输入答案)，Z值保留3位小数为underline(输入答案)，估计误差保留2位小数为underline(输入答案)，置信区间下限保留2位小数为underline(输入答案)，置信区间上限保留2位小数为underline(输入答案)。
某公司有在职工3000人，按随机重复抽样方式从中抽60人，调查其工资收入情况。调查结果表明，若60名职工月平均工资为2350元，标准差为193元。请以90%的置信水平推断该公司职工月平均工资的范围。样本均值为$\underline{输入答案}$，Z值保留3位小数为$\underline{输入答案}$，估计误差保留2位小数为$\underline{输入答案}$，置信区间下限保留2位小数为$\underline{输入答案}$，置信区间上限保留2位小数为$\underline{输入答案}$。
题目解答
答案
1. **样本均值**：$\bar{x} = 2350$ 元
2. **Z值**：对于90%置信水平，$\alpha = 0.10$，双侧检验时 $z_{0.05} \approx 1.645$
3. **估计误差**：
\[
E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{193}{\sqrt{60}} \approx 40.94 \text{ 元}
\]
4. **置信区间**：
\[
\bar{x} \pm E = 2350 \pm 40.94 \Rightarrow (2309.06, 2390.94)
\]
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{样本均值} & 2350 \\
\text{Z值} & 1.645 \\
\text{估计误差} & 40.94 \\
\text{置信区间下限} & 2309.06 \\
\text{置信区间上限} & 2390.94 \\
\end{array}
}
\]
解析
本题考查的是在已知样本信息的情况下，利用正态分布的性质来推断总体均值的置信区间。解题的关键思路如下：
- 首先明确样本均值，题目中已经直接给出样本均值$\bar{x}$的值。
- 接着确定$Z$值，根据置信水平计算出对应的$Z$值。置信水平为$90\%$，则$\alpha = 1 - 90\% = 0.10$，对于双侧检验，我们需要查找$z_{\alpha/2}=z_{0.05}$的值，通过查阅标准正态分布表可知$z_{0.05} \approx 1.645$。
- 然后计算估计误差$E$，估计误差的计算公式为$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中$z_{\alpha/2}$是前面确定的$Z$值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量。将$z_{\alpha/2}=1.645$，$s = 193$，$n = 60$代入公式可得：
$\begin{align*}E&= 1.645 \cdot \frac{193}{\sqrt{60}}\\&=1.645\times\frac{193}{7.746}\\&\approx1.645\times24.916\\&\approx 40.94\end{align*}$ - 最后计算置信区间，置信区间的计算公式为$\bar{x} \pm E$，将样本均值$\bar{x} = 2350$和估计误差$E \approx 40.94$代入可得：
下限为$\bar{x}-E=2350 - 40.94 = 2309.06$；
上限为$\bar{x}+E=2350 + 40.94 = 2390.94$。