题目
一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效.试求： (1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率； (2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.
一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效.试求：
(1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率；
(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.
题目解答
答案
解析：记一个病人服用该药痊愈为事件A，且其概率为p，那么10个病人服用该药相当于10次重复试验.
(1)因新药有效且p=0.35，故由n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式知，试验被否定(即新药无效)的概率为
P10(0)+P10(1)+P10(2)+P10(3)
=
p0(1-p)10+
p1(1-p)9+
p2(1-p)8+
p3(1-p)7≈0.513 8.
(2)因新药无效，故p=0.25，试验被认为有效的概率为
P10(4)+P10(5)+…+P10(10)
=1-P10(0)-P10(1)-P10(2)-P10(3)≈0.224 2.
答：新药有效，但通过试验被否定的概率为0.513 8;而新药无效，但通过试验被认为有效的概率为0.224 2.
解析
步骤 1：定义事件和概率
记一个病人服用该药痊愈为事件A，且其概率为p。10个病人服用该药相当于10次重复试验。
步骤 2：计算新药有效时被否定的概率
当新药有效时，痊愈率提高到35%，即p=0.35。试验被否定（即新药无效）的概率为10个病人中痊愈人数少于4人的概率，即0人、1人、2人、3人痊愈的概率之和。利用二项分布公式计算这些概率。
步骤 3：计算新药无效时被认为有效的概率
当新药无效时，痊愈率仍为25%，即p=0.25。试验被认为有效的概率为10个病人中痊愈人数不少于4人的概率，即4人、5人、6人、7人、8人、9人、10人痊愈的概率之和。利用二项分布公式计算这些概率。
记一个病人服用该药痊愈为事件A，且其概率为p。10个病人服用该药相当于10次重复试验。
步骤 2：计算新药有效时被否定的概率
当新药有效时，痊愈率提高到35%，即p=0.35。试验被否定（即新药无效）的概率为10个病人中痊愈人数少于4人的概率，即0人、1人、2人、3人痊愈的概率之和。利用二项分布公式计算这些概率。
步骤 3：计算新药无效时被认为有效的概率
当新药无效时，痊愈率仍为25%，即p=0.25。试验被认为有效的概率为10个病人中痊愈人数不少于4人的概率，即4人、5人、6人、7人、8人、9人、10人痊愈的概率之和。利用二项分布公式计算这些概率。