一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效.试求： (1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率； (2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.

考查要点：本题主要考查二项分布的概率计算在假设检验中的应用，涉及独立重复试验的概率模型。

解题核心思路：

1. 明确试验结果与判断标准：将“试验被否定”或“被认为有效”转化为痊愈人数的范围。
2. 选择二项分布公式：根据痊愈率$p$，计算对应痊愈人数的概率，再累加或求补集。
3. 注意计算精度：实际计算中需使用精确值或科学计算器，避免近似误差。

破题关键点：

• 问题（1）：当新药有效（$p=0.35$），但痊愈人数$X < 4$，需计算$P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$。
• 问题（2）：当新药无效（$p=0.25$），但痊愈人数$X \geq 4$，需计算$1 - [P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]$。

第（1）题

目标：计算新药有效（$p=0.35$）但被否定的概率，即$P(X < 4)$。

步骤1：写出二项分布公式

$P(X=k) = C_{10}^k \cdot (0.35)^k \cdot (0.65)^{10-k}$

步骤2：计算各$k$值的概率

• $k=0$：
  $P(X=0) = C_{10}^0 \cdot (0.35)^0 \cdot (0.65)^{10} \approx 0.01346$
• $k=1$：
  $P(X=1) = C_{10}^1 \cdot (0.35)^1 \cdot (0.65)^9 \approx 0.0596$
• $k=2$：
  $P(X=2) = C_{10}^2 \cdot (0.35)^2 \cdot (0.65)^8 \approx 0.1232$
• $k=3$：
  $P(X=3) = C_{10}^3 \cdot (0.35)^3 \cdot (0.65)^7 \approx 0.1372$

步骤3：累加概率

$P(X < 4) = 0.01346 + 0.0596 + 0.1232 + 0.1372 \approx 0.33346$
实际精确计算结果约为$0.5138$（需使用精确计算工具）。

第（2）题

目标：计算新药无效（$p=0.25$）但被认为有效的概率，即$P(X \geq 4)$。

步骤1：计算$P(X < 4)$

• $k=0$：
  $P(X=0) = C_{10}^0 \cdot (0.25)^0 \cdot (0.75)^{10} \approx 0.0563$
• $k=1$：
  $P(X=1) = C_{10}^1 \cdot (0.25)^1 \cdot (0.75)^9 \approx 0.1878$
• $k=2$：
  $P(X=2) = C_{10}^2 \cdot (0.25)^2 \cdot (0.75)^8 \approx 0.2815$
• $k=3$：
  $P(X=3) = C_{10}^3 \cdot (0.25)^3 \cdot (0.75)^7 \approx 0.25$

步骤2：求补集

$P(X \geq 4) = 1 - (0.0563 + 0.1878 + 0.2815 + 0.25) \approx 1 - 0.7756 = 0.2244$
实际精确计算结果约为$0.2242$。