题目
3.设总体 sim N(12,4) 今抽取一个容量为5的样本:X1,X2,X3,X4,X5,试求:-|||-(1) overline {X)gt 13} ;-|||-(2) min({X)_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4),(X)_(5))lt 10} ;-|||-(3) max({X)_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4),(X)_(5))gt 15} ,-|||-(4)若使 11lt overline {X)lt 13} geqslant 0.95 则样本容量n至少应取多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $\overline{X}$ 的分布
由于 $X \sim N(12, 4)$，样本容量为5，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(12, \frac{4}{5})$。因此，$\overline{X}$ 的标准差为 $\sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$。
步骤 2：计算 $P\{\overline{X} > 13\}$
将 $\overline{X}$ 标准化，得到 $Z = \frac{\overline{X} - 12}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$。因此，$P\{\overline{X} > 13\} = P\{Z > \frac{13 - 12}{\frac{2}{\sqrt{5}}}\} = P\{Z > \frac{\sqrt{5}}{2}\}$。查标准正态分布表，得到 $P\{Z > \frac{\sqrt{5}}{2}\} = 0.1314$。
步骤 3：计算 $P\{min(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) < 10\}$
$X_i \sim N(12, 4)$，因此 $P\{X_i < 10\} = P\{Z < \frac{10 - 12}{2}\} = P\{Z < -1\} = 0.1587$。由于 $X_i$ 相互独立，$P\{min(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) < 10\} = 1 - P\{X_1 \geq 10, X_2 \geq 10, X_3 \geq 10, X_4 \geq 10, X_5 \geq 10\} = 1 - (1 - 0.1587)^5 = 0.58$。
步骤 4：计算 $P\{max(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) > 15\}$
$X_i \sim N(12, 4)$，因此 $P\{X_i > 15\} = P\{Z > \frac{15 - 12}{2}\} = P\{Z > 1.5\} = 0.0668$。由于 $X_i$ 相互独立，$P\{max(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) > 15\} = 1 - P\{X_1 \leq 15, X_2 \leq 15, X_3 \leq 15, X_4 \leq 15, X_5 \leq 15\} = 1 - (1 - 0.0668)^5 = 0.29$。
步骤 5：计算 $P\{11 < \overline{X} < 13\} \geqslant 0.95$ 时的样本容量n
$P\{11 < \overline{X} < 13\} = P\{\frac{11 - 12}{\frac{2}{\sqrt{n}}} < Z < \frac{13 - 12}{\frac{2}{\sqrt{n}}}\} = P\{-\frac{\sqrt{n}}{2} < Z < \frac{\sqrt{n}}{2}\} = 2\Phi(\frac{\sqrt{n}}{2}) - 1$。根据题意，$2\Phi(\frac{\sqrt{n}}{2}) - 1 \geqslant 0.95$，即 $\Phi(\frac{\sqrt{n}}{2}) \geqslant 0.975$。查标准正态分布表，得到 $\frac{\sqrt{n}}{2} \geqslant 1.96$，即 $n \geqslant 15.3664$。因此，样本容量n至少应取16。
由于 $X \sim N(12, 4)$，样本容量为5，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(12, \frac{4}{5})$。因此，$\overline{X}$ 的标准差为 $\sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$。
步骤 2：计算 $P\{\overline{X} > 13\}$
将 $\overline{X}$ 标准化，得到 $Z = \frac{\overline{X} - 12}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$。因此，$P\{\overline{X} > 13\} = P\{Z > \frac{13 - 12}{\frac{2}{\sqrt{5}}}\} = P\{Z > \frac{\sqrt{5}}{2}\}$。查标准正态分布表，得到 $P\{Z > \frac{\sqrt{5}}{2}\} = 0.1314$。
步骤 3：计算 $P\{min(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) < 10\}$
$X_i \sim N(12, 4)$，因此 $P\{X_i < 10\} = P\{Z < \frac{10 - 12}{2}\} = P\{Z < -1\} = 0.1587$。由于 $X_i$ 相互独立，$P\{min(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) < 10\} = 1 - P\{X_1 \geq 10, X_2 \geq 10, X_3 \geq 10, X_4 \geq 10, X_5 \geq 10\} = 1 - (1 - 0.1587)^5 = 0.58$。
步骤 4：计算 $P\{max(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) > 15\}$
$X_i \sim N(12, 4)$，因此 $P\{X_i > 15\} = P\{Z > \frac{15 - 12}{2}\} = P\{Z > 1.5\} = 0.0668$。由于 $X_i$ 相互独立，$P\{max(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) > 15\} = 1 - P\{X_1 \leq 15, X_2 \leq 15, X_3 \leq 15, X_4 \leq 15, X_5 \leq 15\} = 1 - (1 - 0.0668)^5 = 0.29$。
步骤 5：计算 $P\{11 < \overline{X} < 13\} \geqslant 0.95$ 时的样本容量n
$P\{11 < \overline{X} < 13\} = P\{\frac{11 - 12}{\frac{2}{\sqrt{n}}} < Z < \frac{13 - 12}{\frac{2}{\sqrt{n}}}\} = P\{-\frac{\sqrt{n}}{2} < Z < \frac{\sqrt{n}}{2}\} = 2\Phi(\frac{\sqrt{n}}{2}) - 1$。根据题意，$2\Phi(\frac{\sqrt{n}}{2}) - 1 \geqslant 0.95$，即 $\Phi(\frac{\sqrt{n}}{2}) \geqslant 0.975$。查标准正态分布表，得到 $\frac{\sqrt{n}}{2} \geqslant 1.96$，即 $n \geqslant 15.3664$。因此，样本容量n至少应取16。