题目

设总体X服从参数为lambda=0.0015的指数分布，X_1,X_2,X_3,...,X_6为来自X的一组样本，则下列说法错误的是 A. X1和X6独立且分布相同B. P(X1< 0,X2 >0,X3 >0)=1C. X_1,X_2,X_3,...,X_6的联合概率密度 [ f(x_1,x_2,...,x_6)=prod_(i=1)^6f_X(x_i)=} x=0.0015^6e^-0.0015sum_(i=1)^6x_i,x_i >0(i=1,2,...,6) y=0,x=other ]D. X1的分布函数为F [ FX_1(x)=} 1-e^-0.0015x,&x >0 0,&x=others ]

设总体X服从参数为$\lambda=0.0015$的指数分布，$X_1,X_2,X_3,\cdots,X_6$为来自X的一组样本，则下列说法错误的是

  • A. X1和X6独立且分布相同
  • B. $P(X1< 0,X2 >0,X3 >0)=1$
  • C. $X_1,X_2,X_3,\cdots,X_6$的联合概率密度

    $f(x_1,x_2,\cdots,x_6)=\prod_{i=1}^{6}f_X(x_i)=\begin{cases} x=0.0015^{6}e^{-0.0015}\sum_{i=1}^{6}x_i,x_i >0(i=1,2,\cdots,6)\\ y=0,x=other \end{cases}$
  • D. X1的分布函数为F

    $FX_1(x)=\begin{cases} 1-e^{-0.0015x},&x >0 \\ 0,&x=others \end{cases}$

题目解答

答案

**答案：B** **解析：** - **选项A**：样本独立同分布，正确。 - **选项B**：指数分布取值范围为$x > 0$，故$P(X_1 < 0) = 0$，导致整个概率为0，错误。 - **选项C**：联合密度为各密度乘积，形式正确，正确。 - **选项D**：指数分布函数形式正确，正确。 **答案：B**

解析

本题主要考查指数分布的性质、样本的独立性与同分布性、联合联合概率密度以及分布函数的相关知识。解题的关键在于熟悉指数分布的基本概念和性质，并据此对每个选项进行分析判断。

  1. 分析选项A：
    • 根据样本的定义，从总体中抽取的样本具有独立同分布的性质。
    • 已知$X_1,X_2,X_3,\cdots,X_6$为来自总体\的一组样本，所以$X_1$和$X_6$独立且分布相同，该选项正确。
  2. 分析选项B：
    • 因为总体$X$服从参数为$\lambda = 0.0015$的指数分布，指数分布的取值范围是$x>0$。
    • 那么$P(X_1 < 0)=0$。
    • 根据概率的乘法公式$P(X_1 < 0,X_2 >0,X_3 >0)=P(X_1 < 0)\times P(X_2 >0)\times P(X_3 >0)$，由于$P(X_1 < 0)=0$，所以$P(X_1 < 0,X_2 >0,X_3 >0)=0\neq1$，该选项错误。
  3. 分析选项C：
    • 已知总体$X$服从参数为$\lambda = 0.0015$的指数分布，其概率密度函数为$f_X(x)=\begin{cases}0.0015e^{-0.0015x},&x >0 \\ 0,&x\leq0 \end{cases}$。
    • 因为样本$X_1,X_2,X_3,\cdots,X_6$相互独立同分布，所以它们的联合概率密度为各边缘概率密度的乘积，即$f(x_1,x_2,\cdots,x_6)=\prod_{i=1}^{6}f_X(x_i)$。
    • 当$x_i >0(i = 1,2,\cdots,6)$时，$f(x_1,x_2,\cdots,x_6)=\prod_{i=1}^{6}0.0015e^{-0.0015x_i}=0.0015^{6}e^{-0.00015\sum_{i=1}^{6}x_i}$；当$x$取其他值时，$f(x_1,x_2,\cdots,x_6)=0$，该选项正确。
  4. 分析选项D：
    • 对于参数为$\lambda$的指数分布，其分布函数为$F_X(x)=\begin{cases}1 - e^{-\lambda x},&x >0 \\ 0,&x\leq0 \end{cases}$。
    • 已知$\lambda = 0.0015$，所以$X_1$的分布函数为$F_{X_1}(x)=\begin{cases}1 - e^{-0.0015x},&x >0 \\ 0,&x\leq0 \end{cases}$，该选项正确。