题目
填空题（共5题，25.0分）5.（5.0分）已知X_(1),X_(2)为来自总体X的样本，mu_(1)=X_(1)+X_(2)，mu_(2)=0.2X_(1)+0.8X_(2)，mu_(3)=0.4X_(1)+0.6X_(2)为总体均值的估计量，则其中无偏估计量是____，最有效的估计量是____。第1空——第2空——
填空题（共5题，25.0分）
5.（5.0分）
已知$X_{1},X_{2}$为来自总体X的样本，$\mu_{1}=X_{1}+X_{2}$，$\mu_{2}=0.2X_{1}+0.8X_{2}$，
$\mu_{3}=0.4X_{1}+0.6X_{2}$为总体均值的估计量，则其中无偏估计量是____，最有效的估计量是____。
第1空
——
第2空
——
题目解答
答案
**答案：**
无偏估计量：$\mu_2, \mu_3$
最有效的估计量：$\mu_3$
**解析：**
1. **无偏性判断：**
- $E(\mu_1) = E(X_1 + X_2) = 2\mu \neq \mu$，故$\mu_1$非无偏。
- $E(\mu_2) = 0.2\mu + 0.8\mu = \mu$，$\mu_2$无偏。
- $E(\mu_3) = 0.4\mu + 0.6\mu = \mu$，$\mu_3$无偏。
2. **方差比较：**
- $Var(\mu_2) = 0.04\sigma^2 + 0.64\sigma^2 = 0.68\sigma^2$
- $Var(\mu_3) = 0.16\sigma^2 + 0.36\sigma^2 = 0.52\sigma^2$
$\mu_3$方差更小，故最有效。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{无偏估计量：} & \mu_2, \mu_3 \\
\text{最有效的估计量：} & \mu_3 \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：无偏性判断
- 对于$\mu_1$，其期望值为$E(\mu_1) = E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = \mu + \mu = 2\mu$，不等于$\mu$，因此$\mu_1$不是无偏估计量。
- 对于$\mu_2$，其期望值为$E(\mu_2) = E(0.2X_1 + 0.8X_2) = 0.2E(X_1) + 0.8E(X_2) = 0.2\mu + 0.8\mu = \mu$，因此$\mu_2$是无偏估计量。
- 对于$\mu_3$，其期望值为$E(\mu_3) = E(0.4X_1 + 0.6X_2) = 0.4E(X_1) + 0.6E(X_2) = 0.4\mu + 0.6\mu = \mu$，因此$\mu_3$是无偏估计量。
步骤 2：方差比较
- 对于$\mu_2$，其方差为$Var(\mu_2) = Var(0.2X_1 + 0.8X_2) = 0.2^2Var(X_1) + 0.8^2Var(X_2) = 0.04\sigma^2 + 0.64\sigma^2 = 0.68\sigma^2$。
- 对于$\mu_3$，其方差为$Var(\mu_3) = Var(0.4X_1 + 0.6X_2) = 0.4^2Var(X_1) + 0.6^2Var(X_2) = 0.16\sigma^2 + 0.36\sigma^2 = 0.52\sigma^2$。
- 因为$0.52\sigma^2 < 0.68\sigma^2$，所以$\mu_3$的方差更小，因此$\mu_3$是最有效的估计量。
- 对于$\mu_1$，其期望值为$E(\mu_1) = E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = \mu + \mu = 2\mu$，不等于$\mu$，因此$\mu_1$不是无偏估计量。
- 对于$\mu_2$，其期望值为$E(\mu_2) = E(0.2X_1 + 0.8X_2) = 0.2E(X_1) + 0.8E(X_2) = 0.2\mu + 0.8\mu = \mu$，因此$\mu_2$是无偏估计量。
- 对于$\mu_3$，其期望值为$E(\mu_3) = E(0.4X_1 + 0.6X_2) = 0.4E(X_1) + 0.6E(X_2) = 0.4\mu + 0.6\mu = \mu$，因此$\mu_3$是无偏估计量。
步骤 2：方差比较
- 对于$\mu_2$，其方差为$Var(\mu_2) = Var(0.2X_1 + 0.8X_2) = 0.2^2Var(X_1) + 0.8^2Var(X_2) = 0.04\sigma^2 + 0.64\sigma^2 = 0.68\sigma^2$。
- 对于$\mu_3$，其方差为$Var(\mu_3) = Var(0.4X_1 + 0.6X_2) = 0.4^2Var(X_1) + 0.6^2Var(X_2) = 0.16\sigma^2 + 0.36\sigma^2 = 0.52\sigma^2$。
- 因为$0.52\sigma^2 < 0.68\sigma^2$，所以$\mu_3$的方差更小，因此$\mu_3$是最有效的估计量。