题目
已知二维随机变量(X,Y)的分布律-110.30.20.110.10.3求:(1)X和Y的分布律;(2)Cov(X,Y).
已知二维随机变量(X,Y)的分布律
-1
1
0.3
0.2
0.1
1
0.1
0.3
求:(1)X和Y的分布律;(2)Cov(X,Y).
题目解答
答案
[分析]本题考查离散型二维随机变量的边缘分布及协方差。 [解析](1)根据二维随机变量(X,Y)的联合分布律,有 X的边缘分布律为
X | 1 | |
P | 0.6 | 0.4 |
Y的边缘分布律为
Y | －1 | 1 | |
P | 0.4 | 0.5 | 0.1 |
(2)由(1)有 E(X)=0×0.6+1×0.4=0.4, E(Y)=(-1)×0.4+0×0.5+1×0.1=-0.3 又
+1×(-1)×0.1+1×0×0.3+1×1×0=-0.1所以cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.1-0.4×(-0.3)=0.02。 [提示]协方差: A)定义:称E(X-E(X))(Y=E(Y))为随机变量X与Y的协方差。记做 Cov(X,Y). B)协方差的计算 ① 离散型二维随机变量:
; ② 连续性二维随机变量:
; ③ 协方差计算公式:cov(X,Y)=E(XY)-E(X)(Y); ④ 特例:cov(X,Y)=D(X). C)协方差的性质: ①Cov(X,Y)=Cov(Y,X); ②Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为任意常数; ③Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y); ④若X与Y相互独立,Cov(X,Y)=0,协方差为零只是随机变量相互独立的必要条件,而不是充分必要条件; ⑤
; ⑥
解析
步骤 1：计算X的边缘分布律
根据二维随机变量(X,Y)的联合分布律，我们可以通过求和得到X的边缘分布律。对于X的每个可能取值，我们将其对应的Y的所有可能取值的概率相加。
步骤 2：计算Y的边缘分布律
同样地，我们可以通过求和得到Y的边缘分布律。对于Y的每个可能取值，我们将其对应的X的所有可能取值的概率相加。
步骤 3：计算E(X)和E(Y)
根据X和Y的边缘分布律，我们可以计算出X和Y的期望值E(X)和E(Y)。
步骤 4：计算E(XY)
根据二维随机变量(X,Y)的联合分布律，我们可以计算出E(XY)。
步骤 5：计算Cov(X,Y)
根据协方差的定义，我们可以通过E(XY)、E(X)和E(Y)来计算Cov(X,Y)。
根据二维随机变量(X,Y)的联合分布律，我们可以通过求和得到X的边缘分布律。对于X的每个可能取值，我们将其对应的Y的所有可能取值的概率相加。
步骤 2：计算Y的边缘分布律
同样地，我们可以通过求和得到Y的边缘分布律。对于Y的每个可能取值，我们将其对应的X的所有可能取值的概率相加。
步骤 3：计算E(X)和E(Y)
根据X和Y的边缘分布律，我们可以计算出X和Y的期望值E(X)和E(Y)。
步骤 4：计算E(XY)
根据二维随机变量(X,Y)的联合分布律，我们可以计算出E(XY)。
步骤 5：计算Cov(X,Y)
根据协方差的定义，我们可以通过E(XY)、E(X)和E(Y)来计算Cov(X,Y)。