题目
已知正实数x,y满足 dfrac (1)(x)+dfrac (9)(y)=1,-|||-则 x+y 的最小值为 __
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查条件最值问题的解法，涉及不等式应用（如基本不等式、柯西不等式）和代数变形能力。
核心思路：题目中存在两个变量$x$和$y$，但仅有一个约束条件$\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}=1$，需通过消元或构造不等式将问题转化为单变量或直接寻找最小值。
破题关键：
- 消元法：将$y$用$x$表示，转化为单变量函数求最小值；
- 方程策略：设$x+y=t$，构造二次方程，利用根的条件求$t$的最小值；
- 不等式策略：利用$\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}=1$与$x+y$的乘积展开，结合基本不等式直接求解。
解法1（函数策略）
- 消元：由$\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}=1$，解得$y=\dfrac{9x}{x-1}$（需$x>1$）。
- 代入目标式：$x+y = x + \dfrac{9x}{x-1}$。
- 变量替换：令$t = x-1$，则$x = t+1$，代入得：
$x+y = (t+1) + \dfrac{9(t+1)}{t} = t + \dfrac{9}{t} + 10$ - 应用基本不等式：$t + \dfrac{9}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \dfrac{9}{t}} = 6$，当且仅当$t=3$时取等号。
- 最小值：$x+y \geq 6 + 10 = 16$，此时$x=4$，$y=12$。
解法2（方程策略）
- 设目标式：令$x+y=t$，则$y = t - x$。
- 代入约束条件：$\dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{t-x} = 1$，整理得：
$x^2 + (8 - t)x + t = 0$ - 根的条件：方程需有两大于1的正根，故：
- 判别式$\Delta \geq 0$：$(8 - t)^2 - 4t \geq 0 \Rightarrow t \geq 16$；
- 根的和$x_1 + x_2 = t - 8 > 2$；
- 根的积$x_1 x_2 = t > 1$。
- 最小值：$t \geq 16$，当$t=16$时方程有实根，此时$x=4$，$y=12$。
解法3（不等式策略）
- 构造乘积：利用$\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}=1$，将$x+y$表示为：
$x+y = \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{y} \right)(x + y) = 10 + \dfrac{y}{x} + \dfrac{9x}{y}$ - 应用基本不等式：$\dfrac{y}{x} + \dfrac{9x}{y} \geq 2\sqrt{\dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{9x}{y}} = 6$，当且仅当$\dfrac{y}{x} = \dfrac{9x}{y}$即$y=3x$时取等号。
- 最小值：$x+y \geq 10 + 6 = 16$，此时$x=4$，$y=12$。