题目
（本题满分11分）设总体X的概率密度为其中参数λ（λ＞0）未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本。（Ⅰ）求参数λ的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量。
（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
其中参数λ（λ＞0）未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本。
（Ⅰ）求参数λ的矩估计量；
（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量。
设总体X的概率密度为
其中参数λ（λ＞0）未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本。
（Ⅰ）求参数λ的矩估计量；
（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量。
题目解答
答案
【评注】本题为基础题型，要熟练掌握总体未知参数的两种点估计法：矩估计法和最大似然估计法。
（Ⅰ）由
令EX＝X，即X＝2/λ，得参数λ的矩估计量为λ1＝2/X。
（Ⅱ）设x1，x2，…，xn（xi＞0，i＝1，2，…，n）为样本观测值，则似然函数为
于是
令
得
故参数λ的最大似然估计量为λ2＝2/X。
解析
步骤 1：求参数λ的矩估计量
首先，计算总体X的期望值EX。根据概率密度函数，我们有
\[ EX = \int_{0}^{\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx \]
通过分部积分法，可以得到
\[ EX = \frac{1}{\lambda} \]
令EX等于样本均值X(＿)，即
\[ X(＿) = \frac{1}{\lambda} \]
从而得到参数λ的矩估计量为
\[ \lambda(∧)_1 = \frac{1}{X(＿)} \]
步骤 2：求参数λ的最大似然估计量
设x_1，x_2，…，x_n（x_i＞0，i＝1，2，…，n）为样本观测值，则似然函数为
\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i} \]
对似然函数取对数，得到对数似然函数
\[ \ln L(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i \]
对对数似然函数求导，并令导数等于0，得到
\[ \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0 \]
从而得到参数λ的最大似然估计量为
\[ \lambda(∧)_2 = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i} = \frac{1}{X(＿)} \]
首先，计算总体X的期望值EX。根据概率密度函数，我们有
\[ EX = \int_{0}^{\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx \]
通过分部积分法，可以得到
\[ EX = \frac{1}{\lambda} \]
令EX等于样本均值X(＿)，即
\[ X(＿) = \frac{1}{\lambda} \]
从而得到参数λ的矩估计量为
\[ \lambda(∧)_1 = \frac{1}{X(＿)} \]
步骤 2：求参数λ的最大似然估计量
设x_1，x_2，…，x_n（x_i＞0，i＝1，2，…，n）为样本观测值，则似然函数为
\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i} \]
对似然函数取对数，得到对数似然函数
\[ \ln L(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i \]
对对数似然函数求导，并令导数等于0，得到
\[ \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0 \]
从而得到参数λ的最大似然估计量为
\[ \lambda(∧)_2 = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i} = \frac{1}{X(＿)} \]