题目

4.解线性方程组}3x_{1)-x_(2)-2x_(3)+15x_(4)=3x_(1)+x_(2)+2x_(3)+3x_(4)=1x_(1)+3x_(2)+6x_(3)+x_(4)=3x_(1)-5x_(2)-10x_(3)+12x_(4)=1.(有无穷多解时，须求出通解).

4.解线性方程组$\left\{\begin{matrix}3x_{1}-x_{2}-2x_{3}+15x_{4}=3\\x_{1}+x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=1\\x_{1}+3x_{2}+6x_{3}+x_{4}=3\\x_{1}-5x_{2}-10x_{3}+12x_{4}=1\end{matrix}\right.$(有无穷多解时，须求出通解).

题目解答

答案

将增广矩阵化简为行阶梯形： 1. 交换行：交换第1行与第2行。 2. 消元： - 第2行减去第1行的3倍，第3行减去第1行，第4行减去第1行。 - 第2行除以-2，第3行除以2，第4行除以-3。 - 删除相同的第4行。 - 第3行除以-1，第2行加第3行，第1行减第3行的3倍。 - 第1行减第2行。 最终得到： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ 通解： $x_1 = -8$，$x_4 = 2$，$x_2 = 3 - 2x_3$，$x_3$为自由变量。 $\boxed{\begin{pmatrix} -8 \\ 3 - 2x_3 \\ x_3 \\ 2 \end{pmatrix}}$

解析

本题考查线性方程组的求解，解题思路是通过对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，然后根据行阶梯形矩阵判断方程组的解的情况，若有无穷多解则求出通解。

步骤一：写出增广矩阵

对于线性方程组$\left\{\begin{matrix}3x_{1}-x_{2}-2x_{3}+15x_{4}=3\\x_{1}+x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=1\\x_{1}+3x_{2}+6x_{3}+x_{4}=3\\x_{1}-5x_{2}-10x_{3}+12x_{4}=1\end{matrix}\right.$，其增广矩阵为$\begin{pmatrix}3& -1& -2& 15& 3\\1& 1& 2& 3& 1\\1& 3& 6& 1& 3\\1& -5& -10& 12& 1\end{pmatrix}$。

步骤二：进行初等行变换

  1. 交换行：交换第$1$行与第$2$行，得到$\begin{pmatrix}1& 1& 2& 3& 1\\3& -1& -2& 15& 3\\1& 3& 6& 1& 3\\1& -5& -10& 12& 1\end{pmatrix}$。
  2. 消元：
    • 第$2$行减去第$1$行的$3$倍，第$3$行减去第$1$行，第$4$行减去第$1$行，得到$\begin{pmatrix}1& 1& 2& 3& 1\\0& -4& -8& 6& 0\\0& 2& 4& -2& 2\\0& -6& -12& 9& 0\end{pmatrix}$。
    • 第$2$行除以$-2$，第$3$行除以$2$，第$4$行除以$-3$，得到$\begin{pmatrix}1& 1& 2& 3& 1\\0& 2& 4& -3& 0\\0& 1& 2& -1& 1\\0& 2& 4& -3& 0\end{pmatrix}$。
    • 删除相同的第$4$行，得到$\begin{pmatrix}1& 1& 2& 3& 1\\0& 2& 4& -3& 0\\0& 1& 2& -1& 1\end{pmatrix}$。
  3. 继续化简：
    • 第$3$行乘以$-1$，得到$\begin{pmatrix}1& 1& 2& 3& 1\\0& 2& 4& -3& 0\\0& -1& -2& 1& -1\end{pmatrix}$。
    • 第$2$行加上第$3$行的$2$倍，第$1$行加上第$3$行，得到$\begin{pmatrix}1& 0& 0& 4& 0\\0& 0& 0& -1& -2\\0& -1& -2& 1& -1\end{pmatrix}$。
    • 交换第$2$行与第$3$行，得到$\begin{pmatrix}1& 0& 0& 4& 0\\0& -1& -2& 1& -1\\0& 0& 0& -1& -2\end{pmatrix}$。
    • 第$2$行加上第$3$行，第$1$行加上第$3$行的$4$倍，得到$\begin{pmatrix}1& 0& 0& 0& -8\\0& -1& -2& 0& -3\\0& 0& 0& -1& -2\end{pmatrix}$。
    • 第$2$行乘以$-1$，第$3$行乘以$-1$，得到$\begin{pmatrix}1& 0& 0& 0& -8\\0& 1& 2& 0& 3\\0& 0& 0& 1& 2\end{pmatrix}$。

步骤三：根据行阶梯形矩阵写出通解

由行阶梯形矩阵$\begin{pmatrix}1& 0& 0& 0& -8\\0& 1& 2& 0& 3\\0& 0& 0& 1& 2\end{pmatrix}$可得方程组$\left\{\begin{matrix}x_{1} = -8\\x_{2} + 2x_{3} = 3\\x_{4} = 2\end{matrix}\right.$。
令$x_{3}$为自由变量，则$x_{2} = 3 - 2x_{3}$。
所以通解为$\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\3 - 2x_{3}\\x_{3}\\2\end{pmatrix}$，其中$x_{3}\in R$。