题目
7.设随机变量X与Y相互独立且都服从正态分布N(μ,σ^2),试求 _(1)=-|||-alpha X+beta Y, _(2)=alpha X-beta Y 的相关系数ρz1z2,其中α,β为常数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 ${Z}_{1}$ 和 ${Z}_{2}$ 的协方差
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，我们首先计算 ${Z}_{1}$ 和 ${Z}_{2}$ 的协方差。协方差定义为 $Cov(Z_1, Z_2) = E[(Z_1 - E[Z_1])(Z_2 - E[Z_2])]$。由于 $X$ 和 $Y$ 的均值为 $\mu$，我们有 $E[Z_1] = \alpha\mu + \beta\mu = (\alpha + \beta)\mu$ 和 $E[Z_2] = \alpha\mu - \beta\mu = (\alpha - \beta)\mu$。因此，$Cov(Z_1, Z_2) = E[(\alpha X + \beta Y - (\alpha + \beta)\mu)(\alpha X - \beta Y - (\alpha - \beta)\mu)]$。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$Cov(X, Y) = 0$，所以 $Cov(Z_1, Z_2) = \alpha^2 E[(X - \mu)^2] - \beta^2 E[(Y - \mu)^2] = \alpha^2 \sigma^2 - \beta^2 \sigma^2 = (\alpha^2 - \beta^2)\sigma^2$。
步骤 2：计算 ${Z}_{1}$ 和 ${Z}_{2}$ 的方差
接下来，我们计算 ${Z}_{1}$ 和 ${Z}_{2}$ 的方差。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$D(Z_1) = D(\alpha X + \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = \alpha^2 \sigma^2 + \beta^2 \sigma^2 = (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2$。同理，$D(Z_2) = D(\alpha X - \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = \alpha^2 \sigma^2 + \beta^2 \sigma^2 = (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2$。
步骤 3：计算 ${Z}_{1}$ 和 ${Z}_{2}$ 的相关系数
最后，我们计算 ${Z}_{1}$ 和 ${Z}_{2}$ 的相关系数 $\rho_{Z_1Z_2}$。相关系数定义为 $\rho_{Z_1Z_2} = \frac{Cov(Z_1, Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)D(Z_2)}}$。将步骤 1 和步骤 2 的结果代入，我们得到 $\rho_{Z_1Z_2} = \frac{(\alpha^2 - \beta^2)\sigma^2}{\sqrt{(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2 (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2}} = \frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2}$。
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，我们首先计算 ${Z}_{1}$ 和 ${Z}_{2}$ 的协方差。协方差定义为 $Cov(Z_1, Z_2) = E[(Z_1 - E[Z_1])(Z_2 - E[Z_2])]$。由于 $X$ 和 $Y$ 的均值为 $\mu$，我们有 $E[Z_1] = \alpha\mu + \beta\mu = (\alpha + \beta)\mu$ 和 $E[Z_2] = \alpha\mu - \beta\mu = (\alpha - \beta)\mu$。因此，$Cov(Z_1, Z_2) = E[(\alpha X + \beta Y - (\alpha + \beta)\mu)(\alpha X - \beta Y - (\alpha - \beta)\mu)]$。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$Cov(X, Y) = 0$，所以 $Cov(Z_1, Z_2) = \alpha^2 E[(X - \mu)^2] - \beta^2 E[(Y - \mu)^2] = \alpha^2 \sigma^2 - \beta^2 \sigma^2 = (\alpha^2 - \beta^2)\sigma^2$。
步骤 2：计算 ${Z}_{1}$ 和 ${Z}_{2}$ 的方差
接下来，我们计算 ${Z}_{1}$ 和 ${Z}_{2}$ 的方差。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$D(Z_1) = D(\alpha X + \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = \alpha^2 \sigma^2 + \beta^2 \sigma^2 = (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2$。同理，$D(Z_2) = D(\alpha X - \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = \alpha^2 \sigma^2 + \beta^2 \sigma^2 = (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2$。
步骤 3：计算 ${Z}_{1}$ 和 ${Z}_{2}$ 的相关系数
最后，我们计算 ${Z}_{1}$ 和 ${Z}_{2}$ 的相关系数 $\rho_{Z_1Z_2}$。相关系数定义为 $\rho_{Z_1Z_2} = \frac{Cov(Z_1, Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)D(Z_2)}}$。将步骤 1 和步骤 2 的结果代入，我们得到 $\rho_{Z_1Z_2} = \frac{(\alpha^2 - \beta^2)\sigma^2}{\sqrt{(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2 (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2}} = \frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2}$。