5-24 如习题 5-24 图所示,一质量为m、长为l的匀质细杆可绕其一端并与杆垂直的水平轴转动。开-|||-始时杆处在水平位置,然后由静止状态被释放。求转至竖直位置时的转动动能及杆下端的线速度大小。-|||-1-|||-习题 5-24 图

考查要点：本题主要考查转动动能的计算和机械能守恒定律的应用，需要结合转动惯量和角速度与线速度的关系进行求解。

解题核心思路：

1. 机械能守恒：杆在转动过程中只有重力做功，机械能守恒。初始时刻杆的重力势能全部转化为转动动能。
2. 转动惯量：匀质细杆绕一端转动的转动惯量为 $I = \frac{1}{3}ml^2$。
3. 角速度与线速度关系：线速度 $v = \omega l$，其中 $\omega$ 是角速度，$l$ 是杆长。

破题关键点：

• 正确计算初始时刻杆的重力势能（质心下降的高度为 $\frac{l}{2}$）。
• 联立机械能守恒方程和转动动能公式，求解角速度 $\omega$，再转化为线速度 $v$。

1. 计算转动动能

机械能守恒：初始时刻杆的重力势能为 $E_p = mg \cdot \frac{l}{2}$（质心高度为 $\frac{l}{2}$），转动动能为 $0$。转至竖直位置时，势能为 $0$，动能为 $E_k$，根据机械能守恒：
$E_k = E_p = \frac{1}{2}mgl$

2. 求杆下端的线速度

转动动能公式：
$E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$
其中转动惯量 $I = \frac{1}{3}ml^2$，代入得：
$\frac{1}{2}mgl = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}ml^2 \cdot \omega^2$
解得角速度：
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$
线速度公式：杆下端的线速度为：
$v = \omega l = \sqrt{\frac{3g}{l}} \cdot l = \sqrt{3gl}$