二维正态分布的两个变量一定是相互独立的()()正确()错误

二维正态分布的两个变量是否独立，取决于它们的相关系数$\rho$。核心结论是：在二维正态分布中，两个变量独立的充要条件是它们不相关（即$\rho=0$）。如果题目未明确说明$\rho=0$，仅给出“二维正态分布”，则无法直接推断变量独立。因此，题目中的说法忽略了这一关键条件，属于错误。

必要性证明（独立$\Rightarrow$不相关）

若$X$和$Y$独立，则联合概率密度函数$f(x,y)$可分解为边缘概率密度的乘积$f_X(x)f_Y(y)$。此时，协方差$\text{Cov}(X,Y)=0$，即相关系数$\rho=0$，说明$X$和$Y$不相关。

充分性证明（不相关$\Rightarrow$独立）

若$X$和$Y$不相关（$\rho=0$），则联合概率密度函数退化为：
$f(x,y) = \frac{1}{2\pi a_1 a_2} \exp\left(-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x-\mu_1}{a_1}\right)^2 + \left(\frac{y-\mu_2}{a_2}\right)^2\right]\right)$
此时$f(x,y)$可分解为$f_X(x)f_Y(y)$，说明$X$和$Y$独立。

结论：二维正态分布下，独立与不相关等价。若题目未说明$\rho=0$，则变量可能相关且不独立，因此原命题错误。